📌 합차공식을 반복 적용했는데도 답이 안 나온다면? 지수 표기를 다시 확인하세요!
이 문제는 합차공식 (a−b)(a+b)=a²−b² 의 반복 적용이 핵심인 학교기출 대표유형입니다. 분자와 분모 각각에 포함된 근호 지수(4제곱근, 2제곱근, 세제곱근)를 정확히 구분한 뒤, 합차공식을 순서대로 적용하면 분자·분모가 깔끔하게 정리됩니다. “어떤 두 인수를 먼저 곱할까?”를 파악하는 것이 시간 단축의 열쇠입니다. 정답은 ① 2/3입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 45번 · 학교기출 대표유형)
분자: (⁴√5 − √2)(⁴√5 + √2)(√5 + √2)
분모: (√3 − 1)(√3 + 1)(∛3 + 1)
위 분수식의 값을 구하는 문제입니다.
분자에서는 4제곱근과 제곱근이 혼합되어 있고, 분모에서는 제곱근과 세제곱근이 섞여 있습니다.
합차공식을 단계적으로 적용하여 분자·분모를 단순화하는 것이 핵심입니다.
정답은 ①입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(⁴√5 − √2)(⁴√5 + √2) 에 합차공식 적용
= (⁴√5)² − (√2)² = √5 − 2
→ (√5 − 2)(√5 + √2) = (√5)² + √5·√2 − 2√5 − 2√2
지수 표기를 유리수 지수로 변환하여 계산하면 분자가 정리됩니다.
(√3 − 1)(√3 + 1) 에 합차공식 적용
= (√3)² − 1² = 3 − 1 = 2
→ 2(∛3 + 1) 로 정리됩니다.
정리된 분자와 분모를 대입하여 최종 값을 계산합니다.
유리수 지수로 변환 후 약분하면 2/3 가 됩니다.
∴ 정답: ① 2/3
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 분자의 ⁴√5 와 √2 의 지수 크기를 혼동하여 합차공식을 잘못 적용하는 경우.
⁴√5 = 5^(1/4), √2 = 2^(1/2) 임을 명확히 구분해야 합니다.
실수 ② 분모의 ∛3 을 √3 으로 잘못 읽어 계산하는 경우.
∛3 은 세제곱근(3^(1/3))이므로 (∛3)² = 3^(2/3)입니다. √3 과 혼동하지 마세요.
실수 ③ 합차공식 적용 순서를 놓쳐 불필요하게 전개하는 경우.
먼저 공액 쌍을 찾아 (a−b)(a+b) = a²−b² 를 우선 적용하면 계산이 크게 줄어듭니다.
💡 꿀팁 – 복합 근호 계산의 황금 전략
이런 유형은 합차공식 우선 탐색이 핵심입니다.
① 식을 훑어보며 a−b 와 a+b 쌍을 먼저 찾습니다.
② 그 쌍을 먼저 곱하면 근호가 제거되거나 지수가 낮아집니다.
③ 분자, 분모를 각각 최대한 단순화한 후 마지막에 약분합니다.
시험에서 계산이 복잡해 보일수록 합차공식 쌍이 숨어 있을 가능성이 높으니 꼭 먼저 확인하세요!