쎈 공통수학1 616번 📐 제한된 범위에서 이차함수의 최대·최소
유형문제 난이도 ★★★☆☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 제한 범위 내 꼭짓점·끝점 비교 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 “제한 범위에서 최댓값이 끝점에서 나오는 이유” 완전 분석
- 📊 x=0, 1, 3에서 함수값 비교 표
- ⚠️ 아래로 볼록이라 최댓값이 꼭짓점이라고 착각하는 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
📱 충전기 연결! 제한 범위 문제는 꼭짓점 + 양 끝점 총 3곳의 함수값을 비교해야 합니다.
📏🔍
제한 범위 최대·최소의 황금 원칙:
꼭짓점과 구간 양 끝점에서의 함수값을 모두 계산해서 비교!
제한 범위 최대·최소의 황금 원칙:
꼭짓점과 구간 양 끝점에서의 함수값을 모두 계산해서 비교!
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
\(0 \leq x \leq 3\)에서 이차함수 \(f(x)=3x^2-6x+k\)의 최댓값이 4일 때, \(f(x)\)의 최솟값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- 완전제곱식: \(f(x)=3(x-1)^2-3+k\) → 꼭짓점 \((1, -3+k)\)
- 꼭짓점 x=1이 [0,3] 안에 있음 → 꼭짓점이 최솟값 위치
- 아래로 볼록이므로 최댓값은 끝점(x=0 또는 x=3)에서 발생
🗝️ 왜 최댓값이 끝점에서 나오는가?
f(x)=3(x-1)²−3+k는 최고차계수 3>0 → 아래로 볼록
꼭짓점이 구간 [0,3] 내부 → 꼭짓점에서 최솟값, 양 끝점 중 더 먼 쪽에서 최댓값!
x=0에서 f(0)=k, x=3에서 f(3)=9-9+k = k → f(0)=f(3)=k
따라서 최댓값 = k = 4+3−k… → x=3에서 f(3)=9+k 확인!
f(x)=3(x-1)²−3+k는 최고차계수 3>0 → 아래로 볼록
꼭짓점이 구간 [0,3] 내부 → 꼭짓점에서 최솟값, 양 끝점 중 더 먼 쪽에서 최댓값!
x=0에서 f(0)=k, x=3에서 f(3)=9-9+k = k → f(0)=f(3)=k
따라서 최댓값 = k = 4+3−k… → x=3에서 f(3)=9+k 확인!
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(f(x)=3(x-1)^2-3+k\). 꼭짓점 x=1이 [0,3]에 포함
힌트 2. 끝점 함수값: f(0) = 0−0+k = k, f(3) = 27−18+k = 9+k
힌트 3. f(0)=k, f(3)=9+k이므로 최댓값 = 9+k = 4 → k=-5 → 최솟값 = -3+k = ?
🧠 핵심 풀이
1 함수 분석 및 주요 점 계산
\(f(x)=3(x-1)^2-3+k\)
\(f(x)=3(x-1)^2-3+k\)
| x | f(x) | 비고 |
|---|---|---|
| 0 | k | 왼쪽 끝점 |
| 1 | -3+k | 꼭짓점 (최솟값) |
| 3 | 9+k | 오른쪽 끝점 (최댓값) |
2 k 결정
최댓값 = f(3) = 9+k = 4 → \(k=-5\)
최댓값 = f(3) = 9+k = 4 → \(k=-5\)
3 최솟값 계산
최솟값 = f(1) = -3+k = -3+(-5) = \(\boxed{-8} \quad 🎯\)
최솟값 = f(1) = -3+k = -3+(-5) = \(\boxed{-8} \quad 🎯\)
📏→🔢→✅
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 가장 흔한 실수: 아래로 볼록 → 꼭짓점에서 최솟값, 맞습니다. 하지만 최댓값을 구간 내 가장 끝에서 찾아야 함!
→ f(0)=k와 f(3)=9+k 중 더 큰 값이 최댓값! (9+k > k이므로 f(3)이 최댓값)
❌ 실수 2: f(3)=27-18+k=9+k 계산 실수 (3²=9, 3×6=18 확인)
❌ 실수 3: k=-5 결정 후 최솟값을 -3+k가 아닌 다른 값으로 계산
📌 외워두면 득점하는 패턴
제한 범위 최대·최소 비교 패턴 (아래로 볼록, a>0)
- 꼭짓점이 구간 내부 → 최솟값=꼭짓점, 최댓값=끝점 중 더 큰 값
- 꼭짓점이 구간 왼쪽 밖 → 구간 내에서 단조 증가 → 왼쪽 끝=최솟값
- 꼭짓점이 구간 오른쪽 밖 → 구간 내에서 단조 감소 → 오른쪽 끝=최솟값
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 2분
→ 완전제곱식 → 3점 비교표 → k 결정 → 최솟값
📝 수능 시험: 목표 1분 20초
→ 3점 비교를 암산으로 처리하는 훈련!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 제한 범위 최대·최소 조건으로 k 결정 마플시너지 공수1 | 끝점·꼭짓점 비교 심화 유형
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 40번 → 제한 범위 최대·최소 기초 반복
- 개념 포스트 (제한 범위 이차함수) → 꼭짓점과 끝점 비교 원리
- 마플시너지 → 제한 범위 조건에서 미지수 k 결정 심화