쎈 공통수학1 615번 📐 이차함수 세 조건으로 f(x) 완전 결정
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 세 조건 (가)(나)(다)를 순서대로 처리하는 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 “최댓값 = 4” → 꼭짓점 형태 \(a(x-b)^2+4\) 즉시 설정
- 💡 조건 (다): f(x)+10=0 두 근의 합 → 꼭짓점의 x좌표×2 = 2b = 6
- ⚠️ 근의 합이 꼭짓점 x좌표의 2배임을 놓치는 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
🌟 이 문제의 핵심: (나)로 꼭짓점 y좌표 → (다)로 꼭짓점 x좌표 → (가)로 a 결정!
📱 충전기 연결 후 순서대로 따라가 보세요.
🎯🧩
세 조건 처리 순서 전략:
(나) 최댓값=4 → 꼭짓점 y=4 → (다) 근의 합=6 → b=3 → (가) f(1)=2 → a 결정
세 조건 처리 순서 전략:
(나) 최댓값=4 → 꼭짓점 y=4 → (다) 근의 합=6 → b=3 → (가) f(1)=2 → a 결정
🔎 문제 핵심 파악
가 \(f(1)=2\)
나 \(f(x)\)의 최댓값은 4이다
다 방정식 \(f(x)+10=0\)의 두 실근의 합은 6이다
🔑 단서 찾기
- (나): 최댓값 4 → \(f(x)=a(x-b)^2+4\) (a<0)
- (다): \(a(x-b)^2+14=0\)의 두 근의 합 → 대칭축의 2배 = 2b = 6 → b=3
- (가): \(f(1)=a(1-3)^2+4=4a+4=2\) → a 결정
🗝️ 이차방정식 근의 합과 꼭짓점의 관계
\(a(x-b)^2+c=0\)의 두 근의 합 = \(2b\) (대칭축의 2배)
이유: \(ax^2-2abx+(ab^2+c)=0\)에서 근의 합 = \(\dfrac{2ab}{a}=2b\)
\(a(x-b)^2+c=0\)의 두 근의 합 = \(2b\) (대칭축의 2배)
이유: \(ax^2-2abx+(ab^2+c)=0\)에서 근의 합 = \(\dfrac{2ab}{a}=2b\)
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. (나)에서 \(f(x)=a(x-b)^2+4\), a<0 (최댓값이므로)
힌트 2. (다)에서 \(f(x)+10=a(x-b)^2+14=0\)의 두 근의 합 = 2b = 6 → b=3
힌트 3. (가)에서 \(4a+4=2\) → a=-1/2. 이제 f(x)=0의 두 근의 곱 구하기!
🧠 핵심 풀이
1 (나) → 꼭짓점 형태 설정
최댓값 4 → \(f(x)=a(x-b)^2+4\) (a<0)
최댓값 4 → \(f(x)=a(x-b)^2+4\) (a<0)
2 (다) → b=3 결정
\(f(x)+10=a(x-b)^2+14=0\)의 두 근의 합 = \(2b=6 \Rightarrow b=3\)
\(f(x)+10=a(x-b)^2+14=0\)의 두 근의 합 = \(2b=6 \Rightarrow b=3\)
3 (가) → a 결정
\(f(1)=a(1-3)^2+4=4a+4=2 \Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}\)
\(f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+4=-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{1}{2}\cdot9+4=-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{1}{2}\)
\(f(1)=a(1-3)^2+4=4a+4=2 \Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}\)
\(f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+4=-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{1}{2}\cdot9+4=-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{1}{2}\)
4 f(x)=0의 두 근의 곱
\(f(x)=0\) → \(-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{1}{2}=0\) → \(x^2-6x+1=0\)
두 근의 곱 = \(\dfrac{1}{1}=\boxed{1} \quad 🎯\)
\(f(x)=0\) → \(-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{1}{2}=0\) → \(x^2-6x+1=0\)
두 근의 곱 = \(\dfrac{1}{1}=\boxed{1} \quad 🎯\)
🧩→🔢→🎯
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: 조건 (다)에서 f(x)+10=0의 두 근의 합이 2b임을 모르고 직접 풀려고 시도
→ 근의 합 = 대칭축×2 = 2b 패턴을 반드시 외우세요!
❌ 실수 2: f(x)=0의 두 근의 곱을 전개 후 상수항/최고차계수로 구하지 않고 실제 근을 계산
→ x²−6x+1=0에서 근의 곱 = 상수항/최고차계수 = 1/1 = 1
❌ 실수 3: a<0 확인(최댓값 조건) 없이 a>0으로 가정하는 실수
📌 외워두면 득점하는 패턴
\(a(x-b)^2+c=0\) 근의 합·곱 패턴
- 두 근의 합 = 2b (대칭축의 2배)
- 두 근의 곱 = \(b^2+\dfrac{c}{a}\)
- 또는 전개 후 비에타: 근의 합 = \(\dfrac{2ab}{a}=2b\), 곱 = \(\dfrac{ab^2+c}{a}\)
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 3분 30초
→ 세 조건을 순서대로 처리. 각 단계 근거 명시!
📝 수능 시험: 목표 2분 30초
→ “근의 합=2b” 패턴 자동화 + 꼭짓점 형태 즉시 설정
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 세 조건으로 이차함수 결정 후 근의 합·곱 마플시너지 공수1 | 꼭짓점 형태와 근의 관계 심화 유형
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 29번·37번 → 근의 합·곱, 최대·최소 기초
- 개념 포스트 (조건으로 이차함수 식 구하기) → 꼭짓점 형태 완벽 이해
- 마플시너지 → 다중 조건 이차함수 결정 심화