쎈 공통수학1 614번 📐 이차함수의 최댓값·최솟값과 부등식 조건
유형문제 난이도 ★★★☆☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
- 🎬 최솟값 ≥ 조건, 최댓값 ≤ 조건에서 a, b 범위 구하는 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 “f(x) ≥ −4 (모든 x)” → 최솟값 ≥ −4 연결 원리
- 📊 두 함수를 나란히 완전제곱식으로 변환하는 비교 표
- ⚠️ 최솟값/최댓값 조건 방향 혼동 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
📱 충전기 연결! f(x) ≥ −4가 모든 x에서 성립한다는 것은 f(x)의 최솟값 ≥ −4라는 뜻입니다.
핵심 연결 고리:
“f(x) ≥ k (모든 x)” ↔ f(x)의 최솟값 ≥ k
“g(x) ≤ k (모든 x)” ↔ g(x)의 최댓값 ≤ k
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
모든 실수 x에 대하여 \(f(x)=2x^2-4x-3a+1 \geq -4\), \(g(x)=-x^2-6x+2b-1 \leq 2\)를 만족시킬 때, \(a+b\)의 최댓값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- f(x) ≥ −4 (모든 x) → f(x)의 최솟값 ≥ −4
- g(x) ≤ 2 (모든 x) → g(x)의 최댓값 ≤ 2
- 두 조건에서 a ≤ ?, b ≤ ? → a+b의 최댓값 결정
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(f(x)=2(x-1)^2-3a-1\) → 최솟값 = \(-3a-1 \geq -4\) → a ≤ ?
힌트 2. \(g(x)=-(x+3)^2+2b+8\) → 최댓값 = \(2b+8 \leq 2\) → b ≤ ?
힌트 3. a의 최댓값 + b의 최댓값 = a+b의 최댓값
🧠 핵심 풀이
\(f(x)=2(x-1)^2-3a-1\)
최솟값 \(=-3a-1\)
조건: \(-3a-1 \geq -4\)
\(-3a \geq -3 \Rightarrow a \leq 1\)
\(g(x)=-(x+3)^2+2b+8\)
최댓값 \(=2b+8\)
조건: \(2b+8 \leq 2\)
\(2b \leq -6 \Rightarrow b \leq -3\)
\(a \leq 1\)이고 \(b \leq -3\)이므로:
\(a+b \leq 1+(-3) = -2\)
\(a=1, b=-3\)일 때 최댓값: \(\boxed{-2} \quad 🎯\)
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: f(x) ≥ −4가 모든 x에서 → 최솟값 ≥ −4인데, 최댓값 ≥ −4로 혼동
→ f(x) ≥ 상수가 모든 x에서 성립 ↔ 최솟값(가장 작은 값) ≥ 상수
❌ 실수 2: \(-3a-1 \geq -4\)에서 \(-3a \geq -3 \Rightarrow a \leq 1\) (부등호 방향 반전!) 실수
→ 음수로 나눌 때 부등호 방향 반전을 잊지 마세요!
❌ 실수 3: a, b 각각의 최댓값을 더해야 a+b의 최댓값 → 독립 조건임을 확인!
📌 외워두면 득점하는 패턴
부등식 조건 ↔ 최대·최소 변환 패턴
- “h(x) ≥ c (모든 x)” → h(x)의 최솟값 ≥ c
- “h(x) ≤ c (모든 x)” → h(x)의 최댓값 ≤ c
- a ≤ m, b ≤ n이면 a+b ≤ m+n (최댓값은 각 최댓값의 합)
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 2분
→ 완전제곱식 변환 → 최솟값·최댓값 조건 → a, b 범위 → 합의 최댓값
📝 수능 시험: 목표 1분 20초
→ “≥ −4 (모든 x)” → 최솟값 ≥ −4 자동 반응 훈련!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 부등식 조건에서 최대·최소 범위 결정 마플시너지 공수1 | 두 조건에서 a+b 최댓값·최솟값 유형- 연산 워크시트 37번 → 이차함수 최대·최소 기초 반복
- 개념 포스트 (이차부등식 항상 성립) → 부등식 ↔ 최대·최소 변환 완벽 이해
- 마플시너지 → 두 조건 동시 처리 심화 유형