쎈 공통수학1 612번 📐 이차함수의 최댓값과 최솟값 비교
유형문제 난이도 ★★★☆☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
- 🎬 완전제곱식으로 최솟값·최댓값 구하는 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 최고차계수 부호로 최솟값/최댓값 구별하는 핵심
- 📊 두 이차함수를 나란히 완전제곱식으로 변환하는 방법
- ⚠️ 최솟값/최댓값 혼동 & 완전제곱식 계수 처리 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
📱 충전기 연결! 두 이차함수를 각각 완전제곱식으로 바꾼 후 꼭짓점의 y좌표를 비교해보세요.
최솟값·최댓값의 핵심 원리:
최고차계수 > 0 → 아래로 볼록 → 꼭짓점 y좌표가 최솟값
최고차계수 < 0 → 위로 볼록 → 꼭짓점 y좌표가 최댓값
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
이차함수 \(y=\dfrac{1}{2}x^2-2x+k\)의 최솟값과 이차함수 \(y=-2x^2-4x-3k\)의 최댓값이 같을 때, 상수 k의 값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- 1번 함수: 최고차계수 1/2 > 0 → 최솟값 존재 (꼭짓점)
- 2번 함수: 최고차계수 -2 < 0 → 최댓값 존재 (꼭짓점)
- 두 꼭짓점의 y좌표를 각각 구해 같다고 놓으면 k 결정!
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(\dfrac{1}{2}x^2-2x+k = \dfrac{1}{2}(x-2)^2-2+k\) → 최솟값 = ?
힌트 2. \(-2x^2-4x-3k = -2(x+1)^2+2-3k\) → 최댓값 = ?
힌트 3. 최솟값 = 최댓값으로 놓고 k를 구하세요!
🧠 핵심 풀이 | 왜 이렇게 푸는가?
\(\dfrac{1}{2}x^2-2x+k\)
\(=\dfrac{1}{2}(x^2-4x)+k\)
\(=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-2+k\)
최솟값 = \(-2+k\)
\(-2x^2-4x-3k\)
\(=-2(x^2+2x)-3k\)
\(=-2(x+1)^2+2-3k\)
최댓값 = \(2-3k\)
최솟값 = 최댓값: $$-2+k = 2-3k$$ $$4k = 4 \quad \Rightarrow \quad k = \boxed{1} \quad 🎯$$
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: \(\dfrac{1}{2}(x^2-4x)=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-2\)에서 \(-2\)가 아닌 \(-4\) 또는 \(-1\)로 계산
→ \(\dfrac{1}{2}(x-2)^2 = \dfrac{1}{2}(x^2-4x+4) = \dfrac{1}{2}x^2-2x+2\)
→ \(\dfrac{1}{2}x^2-2x+k = \dfrac{1}{2}(x-2)^2 + (k-2)\) ← 최솟값은 k-2!
❌ 실수 2: \(-2(x^2+2x)=-2(x+1)^2+2\)에서 +2가 아닌 -2로 계산
→ \(-2(x+1)^2=-2(x^2+2x+1)=-2x^2-4x-2\)
→ \(-2x^2-4x-3k=-2(x+1)^2+(2-3k)\) ← 최댓값은 2-3k!
❌ 실수 3: 최솟값과 최댓값이 어느 것인지 뒤바꾸기 → 계수 부호(1/2 vs -2) 먼저 확인!
📌 외워두면 득점하는 패턴
이차함수 최솟값·최댓값 완전제곱식 패턴
- \(y=a(x-p)^2+q\) 꼴로 변환하면 꼭짓점 \((p, q)\)
- a > 0이면 최솟값 = q (아래로 볼록)
- a < 0이면 최댓값 = q (위로 볼록)
- 완전제곱식 변환 시 계수가 1이 아닌 경우: 계수를 먼저 묶어낸 후 변환!
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 2분
→ 두 완전제곱식 변환 → 최솟값, 최댓값 등치 → k=1. 각 변환 검산!
📝 수능 시험: 목표 1분 20초
→ 완전제곱식 변환을 빠르게 암산 처리
💡 속도 향상: 완전제곱식 변환 암산 훈련 → 꼭짓점 y좌표를 즉시 파악!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 두 이차함수 최대·최소 같을 때 계수 결정 마플시너지 공수1 | 완전제곱식 심화 – 최대·최소 응용 유형- 연산 워크시트 17번 → 완전제곱식 변환 집중 반복
- 개념 포스트 (이차함수의 최대·최소) → 꼭짓점과 최대·최소 완벽 이해
- 마플시너지 → 두 이차함수 최대·최소 비교 심화 유형