쎈 공통수학1 611번 📝 서술형 | a에 관계없이 항상 접하는 직선의 방정식
서술형 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수와 이차방정식
- 🎬 D=0을 a에 대한 항등식으로 처리하는 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 “a에 관계없이 항상 접함” → D=0이 a에 대한 항등식
- 🧠 항등식 조건: a의 계수=0, 상수항=0 동시 적용
- ✍️ 서술형 단계별 답안 작성 가이드
- ⏱ 서술형·수능 목표 풀이 시간
🌟 이 문제는 “a에 관계없이”라는 표현이 핵심!
D=0을 a에 대한 일차식으로 정리한 후 항등식 조건을 적용합니다.
충전기 연결 후 직접 D를 a에 대해 정리해보세요 📱
“a에 관계없이 성립” = 항등식!
a에 대한 식이 모든 a에 대해 0 → 각 차수의 계수가 모두 0
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
실수 a의 값에 관계없이 이차함수 \(y=x^2-2ax+a^2-1\)의 그래프에 항상 접하는 직선의 방정식을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- 직선 \(y=mx+n\)으로 설정 (미지수 m, n)
- 이차함수에 접함 → D=0 → D를 a에 대해 정리
- “a에 관계없이” → D=0이 모든 a에 대해 성립 → 항등식!
- 항등식 조건: a의 계수=0, 상수항=0
\(Aa + B = 0\)이 모든 실수 a에 대해 성립 ↔ \(A=0\) 이고 \(B=0\)
→ D를 a의 일차식으로 정리한 후, 계수 부분=0, 상수 부분=0 두 조건 동시 적용!
① 직선을 y=mx+n으로 설정
② 연립 이차방정식 정리
③ 접하므로 D=0 설정
④ D를 a에 대한 일차식으로 정리
⑤ 항등식 조건 적용 (계수=0, 상수=0)
⑥ m, n 결정 → 직선의 방정식 제시
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. 직선 \(y=mx+n\)이 \(y=x^2-2ax+a^2-1\)에 접 → \(x^2-(2a+m)x+a^2-1-n=0\)의 D=0
힌트 2. \(D=(2a+m)^2-4(a^2-1-n)=4ma+(m^2+4+4n)=0\)
힌트 3. 이것이 모든 a에 대해 성립 → 4m=0, m²+4+4n=0 → m=?, n=?
🧠 핵심 풀이 | 왜 이렇게 푸는가?
직선: \(y=mx+n\)
연립: \(x^2-2ax+a^2-1=mx+n\) → \(x^2-(2a+m)x+(a^2-1-n)=0\)
$$D=(2a+m)^2-4(a^2-1-n)=0$$ $$=4a^2+4ma+m^2-4a^2+4+4n$$ $$=4ma+(m^2+4n+4)=0$$
모든 실수 a에 대해 성립하므로: $$\begin{cases} 4m=0 \\ m^2+4n+4=0 \end{cases}$$ $$m=0 \text{이고 } 0+4n+4=0 \Rightarrow n=-1$$ ∴ 직선의 방정식: \(\boxed{y=-1} \quad 🎯\)
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: D를 전개한 후 \(4a^2\)가 소거됨을 확인하지 않고 더 이상 진행 못함
→ \((2a+m)^2=4a^2+4ma+m^2\)과 \(-4a^2\)가 상쇄 → a에 대한 일차식으로 정리됨
❌ 실수 2: 항등식 조건을 a=0 대입 하나만 사용 → a=0뿐 아니라 모든 a에서 0이어야 함!
→ 반드시 계수 각각=0 조건 사용
❌ 서술형 감점: “a에 관계없이 성립하므로 항등식”이라는 근거 미서술 → 부분 감점!
📌 외워두면 득점하는 패턴
“관계없이 항상” → 항등식 패턴
- “m에 관계없이”, “a의 값에 관계없이” 등의 표현 → 항등식 조건!
- 미지 파라미터(a)에 대한 일차식 \(Aa+B=0\) → A=0, B=0
- 이차식 \(Aa^2+Ba+C=0\) → A=0, B=0, C=0 (세 조건)
💡 이 패턴은 항등식 단원에서도 반복 출제됩니다! 핵심 개념을 완벽히 익혀두세요.
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 서술형 시험: 목표 4분
→ 6단계 서술을 논리적으로 작성. “항등식” 근거를 명시해야 감점 없음!
📝 수능 시험 (유사 유형): 목표 2분
→ D=0 → a에 대해 정리 → 항등식 조건 → m=0, n=-1 즉시 도출
💡 속도 향상: a에 대한 정리 후 “계수=0, 상수=0” 패턴 자동화!
📸 출판사 공식 해설
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