문제 상황 요약
이차함수 \(y = x^2 + px + q\)와 직선 \(y = 3x – 1\)이 서로 다른 두 점에서 만나며, 교점 중 하나의 x좌표가 \(1 – \sqrt{3}\)입니다. 유리수 \(p, q\)에 대해 \(p – q\)를 구합니다.

🔑 단서 찾기

• “유리수 p, q” → 이차방정식의 계수가 유리수!
• “한 근이 \(1-\sqrt{3}\)” → 유리수 계수이므로 켤레근 \(1+\sqrt{3}\)도 근!
• 두 근이 확정되면 근과 계수의 관계로 p, q 결정 가능

1 이차방정식 설정
\(x^2 + px + q = 3x – 1\)을 정리: $$x^2 + (p-3)x + (q+1) = 0$$ 이 방정식의 계수가 모두 유리수이고 한 근이 \(1-\sqrt{3}\)

2 켤레근 확인
유리수 계수 이차방정식에서 한 근이 \(1-\sqrt{3}\)이므로,
켤레근 \(1+\sqrt{3}\)도 근입니다.

3 근과 계수의 관계 적용
두 근: \(\alpha = 1-\sqrt{3},\; \beta = 1+\sqrt{3}\)
두 근의 합: \(\alpha + \beta = 2 = -(p-3) \quad \Rightarrow \quad p-3 = -2 \quad \Rightarrow \quad p = 1\)
두 근의 곱: \(\alpha \cdot \beta = (1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 1-3 = -2 = q+1 \quad \Rightarrow \quad q = -3\)

4 최종 계산
$$p – q = 1 – (-3) = \boxed{4} \quad 🎯$$