쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
527번 · 두 허근 \(\alpha, \beta\)의 켤레관계 → \(14(\bar{\alpha}/\alpha+\bar{\beta}/\beta)\) 계산
— 실수계수 → \(\bar{\alpha}=\beta\), \(\bar{\beta}=\alpha\) → 식이 \(\beta/\alpha+\alpha/\beta\)로 변환!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (허근의 켤레 관계 심화)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 실수계수 이차방정식의 두 허근 α, β는 서로 켤레: ᾱ=β, β̄=α
- 📐 14(β/α+α/β)=14(α²+β²)/(αβ)=14[(α+β)²−2αβ]/(αβ)=−3
- ⚠️ ᾱ=β임을 인식하는 것이 이 문제의 전부!
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-5x+14=0\)의 서로 다른 두 허근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때,
\(14\left(\dfrac{\bar{\alpha}}{\alpha}+\dfrac{\bar{\beta}}{\beta}\right)\)의 값을 구하는 문제입니다.
(\(\bar{\alpha}\), \(\bar{\beta}\)는 각각 \(\alpha\), \(\beta\)의 켤레복소수)
💎 핵심 성질 — 실수계수 이차방정식의 두 허근은 서로 켤레!
\(x^2-5x+14=0\)의 두 근 \(\alpha\), \(\beta\)가 모두 허수이면:
\[\bar{\alpha}=\beta \quad \text{이고} \quad \bar{\beta}=\alpha\]
(두 허근이 서로 켤레복소수 관계)
\(x^2-5x+14=0\)의 두 근 \(\alpha\), \(\beta\)가 모두 허수이면:
\[\bar{\alpha}=\beta \quad \text{이고} \quad \bar{\beta}=\alpha\]
(두 허근이 서로 켤레복소수 관계)
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta=5\), \quad \(\alpha\beta=14\)
\(\alpha+\beta=5\), \quad \(\alpha\beta=14\)
2
ᾱ=β 대입하여 식 변환
\[14\left(\frac{\bar{\alpha}}{\alpha}+\frac{\bar{\beta}}{\beta}\right) = 14\left(\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}\right) = 14\cdot\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\]
\[14\left(\frac{\bar{\alpha}}{\alpha}+\frac{\bar{\beta}}{\beta}\right) = 14\left(\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}\right) = 14\cdot\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\]
3
α²+β² 계산 및 최종 답
\[\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta = 25-28=-3\] \[14\cdot\frac{-3}{14} = -3\]
\[\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta = 25-28=-3\] \[14\cdot\frac{-3}{14} = -3\]
정답 : \(-3\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
두 허근의 켤레 관계 핵심 공식
실수계수 이차방정식의 두 허근 \(\alpha\), \(\beta\)에 대해:
\[\bar{\alpha}=\beta, \quad \bar{\beta}=\alpha\]
→ \(\bar{\alpha}/\alpha + \bar{\beta}/\beta = \beta/\alpha + \alpha/\beta = (\alpha^2+\beta^2)/(\alpha\beta)\)
이 변환이 보이면 바로 \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) 공식 적용!
실수계수 이차방정식의 두 허근 \(\alpha\), \(\beta\)에 대해:
\[\bar{\alpha}=\beta, \quad \bar{\beta}=\alpha\]
→ \(\bar{\alpha}/\alpha + \bar{\beta}/\beta = \beta/\alpha + \alpha/\beta = (\alpha^2+\beta^2)/(\alpha\beta)\)
이 변환이 보이면 바로 \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) 공식 적용!
⚠️ 이런 실수 조심!
- ᾱ=α(자기 자신)이라고 착각하는 실수 — 두 허근은 서로 켤레이므로 ᾱ=β!
- α²+β²=25−28=−3 (음수!)이 나오는 것이 맞음 — 허수이므로 α²+β²이 음수일 수 있음
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
