쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
526번 · 켤레근으로 \(m, n\) 결정 → \(1/m, 1/n\) 이차방정식 → \(b-a\) 서술형
— 켤레근 → m=2, n=5 → 역수 두 근 방정식 → 계수 10 맞추기!
난이도 : 상✍️ 서술형
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (켤레근 + 역수 두 근 방정식 서술형)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 −1+2i → 켤레근 −1−2i → m=2, n=5
- 📐 1/m=1/2, 1/n=1/5 → 합=7/10, 곱=1/10 → 계수 10: 10x²−7x+1=0
- ✍️ 서술형: m, n 결정 과정 + 방정식 작성 과정 모두 서술
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+mx+n=0\)의 한 근이 \(-1+2i\)일 때 (단 \(m\), \(n\)은 실수),
\(\dfrac{1}{m}\), \(\dfrac{1}{n}\)을 두 근으로 하고 \(x^2\)의 계수가 10인 이차방정식이 \(10x^2+ax+b=0\)일 때,
\(b-a\)의 값을 구하는 서술형 문제입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
켤레근 성질로 m, n 결정
실수 계수이므로 \(-1-2i\)도 근.
두 근의 합: \(-1+2i+(-1-2i)=-2=-m \implies m=2\)
두 근의 곱: \((-1+2i)(-1-2i)=1+4=5=n \implies n=5\)
실수 계수이므로 \(-1-2i\)도 근.
두 근의 합: \(-1+2i+(-1-2i)=-2=-m \implies m=2\)
두 근의 곱: \((-1+2i)(-1-2i)=1+4=5=n \implies n=5\)
2
1/m, 1/n의 합·곱 계산
\(\dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{2}\), \quad \(\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{5}\)
합: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{7}{10}\)
곱: \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{2}\), \quad \(\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{5}\)
합: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{7}{10}\)
곱: \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{10}\)
3
이차방정식 작성 (x²계수=10)
\[x^2-\frac{7}{10}x+\frac{1}{10}=0\] 양변에 10을 곱하면:
\[10x^2-7x+1=0\] 따라서 \(a=-7\), \(b=1\)
\[x^2-\frac{7}{10}x+\frac{1}{10}=0\] 양변에 10을 곱하면:
\[10x^2-7x+1=0\] 따라서 \(a=-7\), \(b=1\)
4
최종 계산
\[b-a = 1-(-7) = 8\]
\[b-a = 1-(-7) = 8\]
정답 : \(b-a=8\)
✍️ 서술형 채점 포인트
① −1−2i도 근임을 명시 + 켤레근 성질 근거 (1점)
② 두 근의 합·곱으로 m=2, n=5 결정 (2점)
③ 1/m=1/2, 1/n=1/5의 합=7/10, 곱=1/10 계산 (2점)
④ 계수 10 맞추기 → 10x²−7x+1=0 (1점)
⑤ a=−7, b=1, b−a=8 최종 답 (1점)
② 두 근의 합·곱으로 m=2, n=5 결정 (2점)
③ 1/m=1/2, 1/n=1/5의 합=7/10, 곱=1/10 계산 (2점)
④ 계수 10 맞추기 → 10x²−7x+1=0 (1점)
⑤ a=−7, b=1, b−a=8 최종 답 (1점)
🧠 외워두면 좋은 패턴
켤레근 → 계수 → 역수 방정식 연결 루틴
① 켤레근으로 두 근 결정 → 합·곱으로 방정식 계수 결정
② 역수 방정식: \(m\), \(n\)의 역수 = \(1/m\), \(1/n\) → 합·곱 계산
③ 지정 계수 맞추기 (여기서는 ×10)
① 켤레근으로 두 근 결정 → 합·곱으로 방정식 계수 결정
② 역수 방정식: \(m\), \(n\)의 역수 = \(1/m\), \(1/n\) → 합·곱 계산
③ 지정 계수 맞추기 (여기서는 ×10)
⚠️ 이런 실수 조심!
- (−1+2i)(−1−2i)=1+4=5 계산에서 i²=−1 처리 — \((-1)^2+(2)^2=5\)
- x²의 계수를 10으로 맞추기 위해 전체에 10을 곱해야 하므로 a=−7, b=1 (부호 주의)
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
5분
수능·모의고사
4분
🖼️ 교재 해설 이미지
