쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
517번 · 이차식 \(x^2-2x+6\) 복소수 범위 인수분해
— 허근 \(1\pm\sqrt{5}i\)를 구한 후 \((x-\text{근}_1)(x-\text{근}_2)\) 형태!
난이도 : 중
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- 📹 풀이 영상 (복소수 범위 인수분해)
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- 🔑 D/4=1−6=−5<0 → 허근 → x=1±√5i
- 📐 x²−2x+6=(x−1−√5i)(x−1+√5i)
- ⚠️ 실수 범위에서는 불가 → 복소수 범위!
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📌 문제 핵심 파악
이차식 \(x^2-2x+6\)을 복소수의 범위에서 인수분해하는 문제입니다.
💡 핵심: 이차방정식의 근 = 인수분해의 열쇠!
\(ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)\) (\(\alpha\), \(\beta\)는 방정식의 근)
D<0이면 실수 범위에서 인수분해 불가 → 복소수 범위에서 허근을 이용!
\(ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)\) (\(\alpha\), \(\beta\)는 방정식의 근)
D<0이면 실수 범위에서 인수분해 불가 → 복소수 범위에서 허근을 이용!
✏️ 단계별 풀이
1
이차방정식의 근 계산
\(x^2-2x+6=0\)에서:
\[x = \frac{2\pm\sqrt{4-24}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{-20}}{2} = \frac{2\pm 2\sqrt{5}i}{2} = 1\pm\sqrt{5}i\]
\(x^2-2x+6=0\)에서:
\[x = \frac{2\pm\sqrt{4-24}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{-20}}{2} = \frac{2\pm 2\sqrt{5}i}{2} = 1\pm\sqrt{5}i\]
2
인수분해
\[x^2-2x+6 = (x-(1+\sqrt{5}i))(x-(1-\sqrt{5}i))\] \[= (x-1-\sqrt{5}i)(x-1+\sqrt{5}i)\]
\[x^2-2x+6 = (x-(1+\sqrt{5}i))(x-(1-\sqrt{5}i))\] \[= (x-1-\sqrt{5}i)(x-1+\sqrt{5}i)\]
정답 : ① \((x-1-\sqrt{5}i)(x-1+\sqrt{5}i)\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
복소수 범위 인수분해 공식
\(x^2+bx+c=0\)의 두 근 \(\alpha, \bar{\alpha}\) (켤레복소수)에 대해:
\[x^2+bx+c = (x-\alpha)(x-\bar{\alpha})\]
\(x^2-2x+6\)의 경우: 근이 \(1\pm\sqrt{5}i\) → \((x-1-\sqrt{5}i)(x-1+\sqrt{5}i)\)
\(x^2+bx+c=0\)의 두 근 \(\alpha, \bar{\alpha}\) (켤레복소수)에 대해:
\[x^2+bx+c = (x-\alpha)(x-\bar{\alpha})\]
\(x^2-2x+6\)의 경우: 근이 \(1\pm\sqrt{5}i\) → \((x-1-\sqrt{5}i)(x-1+\sqrt{5}i)\)
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(\sqrt{-20}=\sqrt{20}\cdot i=2\sqrt{5}i\) 계산 실수 — \(\sqrt{-20}=\sqrt{4\cdot5\cdot(-1)}=2\sqrt{5}i\)
- 인수분해 결과를 \((x-1)^2+5\)로만 쓰고 복소수 인수 표현 못하는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분
수능·모의고사
1분 30초
🖼️ 교재 해설 이미지
