쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
516번 · \(f(2-3x)=0\)의 근 → \(f(4x)=0\)의 두 근의 곱 역추적
— \(f(2-3x)=0\)의 근에서 \(f(x)=0\)의 근을 먼저 역추적!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (역추적 + 재치환 2단계 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 f(2−3x)=0의 근 α, β → f(x)=0의 근: 2−3α, 2−3β
- 📐 f(4x)=0의 근: (2−3α)/4, (2−3β)/4 → 곱={4−6(α+β)+9αβ}/16
- ⚠️ 역추적 방향 혼동 주의! f(2−3x)=0 → x=α이면 f(x)=0의 근은 2−3α
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(f(2-3x)=0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때 \(\alpha+\beta=-1\), \(\alpha\beta=-\dfrac{1}{3}\)입니다.
이차방정식 \(f(4x)=0\)의 두 근의 곱을 구하는 문제입니다.
풀이 흐름
\(f(2-3x)=0\)의 근 \(\alpha, \beta\) → \(f(x)=0\)의 근 \(2-3\alpha, 2-3\beta\) (역추적) → \(f(4x)=0\)의 근 \(\frac{2-3\alpha}{4}, \frac{2-3\beta}{4}\)
\(f(2-3x)=0\)의 근 \(\alpha, \beta\) → \(f(x)=0\)의 근 \(2-3\alpha, 2-3\beta\) (역추적) → \(f(4x)=0\)의 근 \(\frac{2-3\alpha}{4}, \frac{2-3\beta}{4}\)
✏️ 단계별 풀이
1
f(x)=0의 근 역추적
\(f(2-3x)=0\)의 근이 \(\alpha\)이므로 \(f(2-3\alpha)=0\)
즉, \(f(x)=0\)의 한 근은 \(2-3\alpha\)이고, 다른 한 근은 \(2-3\beta\)
\(f(2-3x)=0\)의 근이 \(\alpha\)이므로 \(f(2-3\alpha)=0\)
즉, \(f(x)=0\)의 한 근은 \(2-3\alpha\)이고, 다른 한 근은 \(2-3\beta\)
2
f(4x)=0의 두 근 결정
\(f(4x)=0\)에서 \(4x=2-3\alpha\) 또는 \(4x=2-3\beta\)
두 근: \(\dfrac{2-3\alpha}{4}\), \(\dfrac{2-3\beta}{4}\)
\(f(4x)=0\)에서 \(4x=2-3\alpha\) 또는 \(4x=2-3\beta\)
두 근: \(\dfrac{2-3\alpha}{4}\), \(\dfrac{2-3\beta}{4}\)
3
두 근의 곱 계산
\[\frac{(2-3\alpha)(2-3\beta)}{16} = \frac{4-6(\alpha+\beta)+9\alpha\beta}{16}\] \[= \frac{4-6(-1)+9(-\frac{1}{3})}{16} = \frac{4+6-3}{16} = \frac{7}{16}\]
\[\frac{(2-3\alpha)(2-3\beta)}{16} = \frac{4-6(\alpha+\beta)+9\alpha\beta}{16}\] \[= \frac{4-6(-1)+9(-\frac{1}{3})}{16} = \frac{4+6-3}{16} = \frac{7}{16}\]
정답 : \(\dfrac{7}{16}\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
역추적 + 재치환 2단계 전략
① \(f(g(x))=0\)의 근 \(\alpha\) → \(f(x)=0\)의 근은 \(g(\alpha)\)
② 역추적한 \(f(x)=0\)의 근을 이용해 \(f(h(x))=0\)의 근 결정
③ 새 근의 합·곱 계산 시 \((2-3\alpha)(2-3\beta)\) 등 이중 전개 공식 활용
① \(f(g(x))=0\)의 근 \(\alpha\) → \(f(x)=0\)의 근은 \(g(\alpha)\)
② 역추적한 \(f(x)=0\)의 근을 이용해 \(f(h(x))=0\)의 근 결정
③ 새 근의 합·곱 계산 시 \((2-3\alpha)(2-3\beta)\) 등 이중 전개 공식 활용
⚠️ 이런 실수 조심!
- f(2−3x)=0의 근이 α이면 f(x)=0의 근이 α라고 착각 — f(2−3α)=0이므로 f(x)=0의 근은 2−3α!
- (2−3α)(2−3β) 전개 중 −6(α+β) 중간항 부호 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분 30초
수능·모의고사
3분 30초
🖼️ 교재 해설 이미지
