쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
511번 · 잘못 본 계수 — 복소수 근·실수 근으로 원래 방정식 복원 서술형
— 정혁이는 상수항 정확(곱), 다은이는 x계수 정확(합)!
난이도 : 상✍️ 서술형
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (복소수·실수 근에서 계수 복원)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 정혁이: x계수 오독 → 상수항 정확 → 두 근의 곱=19
- 📐 다은이: 상수항 오독 → x계수 정확 → 두 근의 합=−2 → a=2
- ✍️ 서술형: 각 단계를 논리적으로 서술
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
\(x^2\)의 계수가 1인 이차방정식에서
정혁이는 \(x\)의 계수를 잘못 보고 근이 \(4\pm\sqrt{3}i\)를 얻었고,
다은이는 상수항을 잘못 보고 근이 \(-1\pm\sqrt{5}\)를 얻었습니다.
원래의 이차방정식을 구하는 서술형 문제입니다.
🗝️ 핵심 전략
| 사람 | 잘못 본 것 | 바르게 본 것 | 활용 |
|---|---|---|---|
| 정혁이 | x의 계수(b) | 상수항(c) | 두 근의 곱 = c/1 = c |
| 다은이 | 상수항(c) | x의 계수(b) | 두 근의 합 = −b |
✏️ 단계별 풀이
1
정혁이의 근에서 상수항(c) 추출
두 근 \(4+\sqrt{3}i\), \(4-\sqrt{3}i\)의 곱 = 상수항:
\[(4+\sqrt{3}i)(4-\sqrt{3}i) = 16+3 = 19\] 따라서 원래 방정식의 상수항 = \(19\)
두 근 \(4+\sqrt{3}i\), \(4-\sqrt{3}i\)의 곱 = 상수항:
\[(4+\sqrt{3}i)(4-\sqrt{3}i) = 16+3 = 19\] 따라서 원래 방정식의 상수항 = \(19\)
2
다은이의 근에서 x계수 추출
두 근 \(-1+\sqrt{5}\), \(-1-\sqrt{5}\)의 합 = \(-b\):
\[(-1+\sqrt{5})+(-1-\sqrt{5}) = -2 = -b\] 따라서 \(b=2\) (x의 계수)
두 근 \(-1+\sqrt{5}\), \(-1-\sqrt{5}\)의 합 = \(-b\):
\[(-1+\sqrt{5})+(-1-\sqrt{5}) = -2 = -b\] 따라서 \(b=2\) (x의 계수)
3
원래 방정식 복원
\[x^2+2x+19=0\]
\[x^2+2x+19=0\]
정답 : \(x^2+2x+19=0\)
✍️ 서술형 채점 포인트
① 정혁이의 근에서 “상수항=두 근의 곱” 적용 → 상수항=19 (2점)
② 다은이의 근에서 “x계수=−두 근의 합” 적용 → x계수=2 (2점)
③ 원래 방정식 x²+2x+19=0 제시 (1점)
② 다은이의 근에서 “x계수=−두 근의 합” 적용 → x계수=2 (2점)
③ 원래 방정식 x²+2x+19=0 제시 (1점)
🧠 외워두면 좋은 패턴
복소수 근의 합·곱 계산 공식
\((p+qi)(p-qi) = p^2+q^2\) (복소수 켤레근의 곱 = 실수!)
\((p+qi)+(p-qi) = 2p\) (복소수 켤레근의 합 = 실수!)
→ 정혁이의 근: \((4+\sqrt{3}i)(4-\sqrt{3}i)=4^2+(\sqrt{3})^2=19\)
\((p+qi)(p-qi) = p^2+q^2\) (복소수 켤레근의 곱 = 실수!)
\((p+qi)+(p-qi) = 2p\) (복소수 켤레근의 합 = 실수!)
→ 정혁이의 근: \((4+\sqrt{3}i)(4-\sqrt{3}i)=4^2+(\sqrt{3})^2=19\)
⚠️ 이런 실수 조심!
- 정혁이가 x계수를 잘못 봤으므로 상수항이 정확 — 이것을 뒤바꾸는 실수
- (4+√3i)(4−√3i) = 16−3i² = 16+3 = 19 계산 시 i²=−1 처리 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
