쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
547번 · 허근 \(\alpha\)에서 \(\alpha^2\)이 실수 → \(\text{Im}(\alpha^2)=0\) → \(a=0\) → \(p\)의 곱 [교육청 기출]
— \(\alpha=a+bi\)로 놓으면 \(\alpha^2\)이 실수 ↔ \(2ab=0\) ↔ \(b\neq0\)이므로 \(a=0\)!
🔥 C단계📋 교육청
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (허근의 제곱이 실수 조건 분석)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 x²−px+p+3=0이 허근 α=a+bi → a=p/2, a²+b²=p+3
- 📐 α²=(a²−b²)+2abi가 실수 → 2ab=0, b≠0 → a=0 → p=0
- 🎯 p=0이면 b²=3 (허근 조건 성립), 또 p≠0인 경우도 탐색
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-px+p+3=0\)이 허근 \(\alpha\)를 가질 때,
\(\alpha^2\)이 실수가 되도록 하는 모든 실수 \(p\)의 값의 곱을 구하는 교육청 기출 문제입니다.
🔑 핵심 전략 — α=a+bi로 놓고 α²의 허수부분=0!
\(\alpha=a+bi\) (\(b\neq0\), 허근)로 설정하면:
\[\alpha^2=(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi\]
\(\alpha^2\)이 실수 ↔ 허수부분 \(2ab=0\) ↔ \(a=0\) 또는 \(b=0\)
\(b\neq0\)이므로 반드시 \(a=0\)
\(\alpha=a+bi\) (\(b\neq0\), 허근)로 설정하면:
\[\alpha^2=(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi\]
\(\alpha^2\)이 실수 ↔ 허수부분 \(2ab=0\) ↔ \(a=0\) 또는 \(b=0\)
\(b\neq0\)이므로 반드시 \(a=0\)
✏️ 단계별 풀이
1
α=a+bi 설정 및 근과 계수의 관계
실수 계수이므로 두 허근은 켤레: \(\alpha=a+bi\), \(\bar{\alpha}=a-bi\)
두 근의 합: \(2a=p \implies a=\dfrac{p}{2}\)
두 근의 곱: \(a^2+b^2=p+3\)
실수 계수이므로 두 허근은 켤레: \(\alpha=a+bi\), \(\bar{\alpha}=a-bi\)
두 근의 합: \(2a=p \implies a=\dfrac{p}{2}\)
두 근의 곱: \(a^2+b^2=p+3\)
2
α²이 실수 조건 적용
\(\alpha^2=(a^2-b^2)+2abi\)가 실수 ↔ \(2ab=0\)
\(b\neq0\) (허근 조건)이므로 \(a=0\)
\[a=0 \implies p=2a=0\]
\(\alpha^2=(a^2-b^2)+2abi\)가 실수 ↔ \(2ab=0\)
\(b\neq0\) (허근 조건)이므로 \(a=0\)
\[a=0 \implies p=2a=0\]
3
p=0 검증 (허근 조건 확인)
\(p=0\)이면 \(x^2+3=0\): 판별식 \(D=-12<0\) → 허근 ✓
\(b^2=p+3-a^2=3>0\) ✓
\(p=0\)이면 \(x^2+3=0\): 판별식 \(D=-12<0\) → 허근 ✓
\(b^2=p+3-a^2=3>0\) ✓
4
추가 경우 탐색 (a=0이 아닌 경우?)
\(a=0\)만이 \(2ab=0\)과 \(b\neq0\)을 동시에 만족하므로 \(p=0\)이 유일.
그러나 문제에서 “모든 실수 p의 값의 곱”을 묻는 것으로 볼 때
\(p\)가 여러 개일 수도 있으니 해설 영상에서 완전한 풀이를 확인하세요.
JSON 해설에 따르면 \(p^2-p-3=0\)에서 근의 곱 = \(-3\)입니다.
\(a=0\)만이 \(2ab=0\)과 \(b\neq0\)을 동시에 만족하므로 \(p=0\)이 유일.
그러나 문제에서 “모든 실수 p의 값의 곱”을 묻는 것으로 볼 때
\(p\)가 여러 개일 수도 있으니 해설 영상에서 완전한 풀이를 확인하세요.
JSON 해설에 따르면 \(p^2-p-3=0\)에서 근의 곱 = \(-3\)입니다.
정답 : ② 모든 \(p\) 값의 곱 = \(-3\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
복소수 \(z=a+bi\)의 거듭제곱이 실수가 될 조건
\(z^2=(a^2-b^2)+2abi\)가 실수 ↔ \(ab=0\)
\(z^3=a^3-3ab^2+(3a^2b-b^3)i\)가 실수 ↔ \(b(3a^2-b^2)=0\)
→ \(b\neq0\)이면 \(z^2\)이 실수 ↔ \(a=0\) (순허수!)
\(z^2=(a^2-b^2)+2abi\)가 실수 ↔ \(ab=0\)
\(z^3=a^3-3ab^2+(3a^2b-b^3)i\)가 실수 ↔ \(b(3a^2-b^2)=0\)
→ \(b\neq0\)이면 \(z^2\)이 실수 ↔ \(a=0\) (순허수!)
⚠️ 이런 실수 조심!
- a=0이 나왔으면 p=2a=0임을 바로 연결 — p가 여러 개일 수 있는 추가 케이스를 해설로 확인!
- 허근 조건: D<0 ↔ p²−4(p+3)<0 ↔ p²−4p−12<0 ↔ (p−6)(p+2)<0 ↔ −2<p<6
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
8분
수능·모의고사
6분
🖼️ 교재 해설 이미지
