쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
546번 · \(x^2+x+1=0\)의 근 — \(\alpha^2=\beta\) 변환으로 \(f(\alpha^2)=f(\beta)\) → \(p+q\) [교육청 기출]
— \(\alpha^2=-\alpha-1=\beta\)임을 이용해 \(f(\alpha^2)=f(\beta)=-4\alpha\)로 변환!
🔥 C단계📋 교육청
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (α²=β 변환 + f(x) 결정)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 α²+α+1=0 → α²=−α−1=β (∵ β+α+1=0에서 β=−α−1)
- 📐 f(α²)=f(β)=−4α, f(β²)=f(α)=−4β → f(x)−(−4x)=0의 근이 α, β
- 🎯 f(x)+4x=x²+x+1 → f(x)=x²+5x+5 → p=5, q=5 → p+q=10
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+x+1=0\)의 두 근 \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여
이차함수 \(f(x)=x^2+px+q\)가 \(f(\alpha^2)=-4\alpha\), \(f(\beta^2)=-4\beta\)를 만족시킬 때,
\(p+q\)의 값을 구하는 교육청 기출 문제입니다.
💡 핵심 아이디어 — \(x^2+x+1=0\)에서 \(\alpha^2=\beta\)!
\(\alpha^2+\alpha+1=0\)에서 \(\alpha^2=-\alpha-1\)
\(\beta+\alpha+1=0\)에서 \(\beta=-\alpha-1\)
\[\therefore \alpha^2 = \beta \quad \text{마찬가지로} \quad \beta^2=\alpha\]
\(\alpha^2+\alpha+1=0\)에서 \(\alpha^2=-\alpha-1\)
\(\beta+\alpha+1=0\)에서 \(\beta=-\alpha-1\)
\[\therefore \alpha^2 = \beta \quad \text{마찬가지로} \quad \beta^2=\alpha\]
✏️ 단계별 풀이
1
α²=β, β²=α 변환
\(f(\alpha^2)=f(\beta)=-4\alpha\)
\(f(\beta^2)=f(\alpha)=-4\beta\)
\(f(\alpha^2)=f(\beta)=-4\alpha\)
\(f(\beta^2)=f(\alpha)=-4\beta\)
2
f(x)+4x=0의 근이 α, β임을 이용
\(f(\beta)=-4\alpha=-4\beta+4(\beta-\alpha)\)… 좀 더 직접적으로:
\(f(\alpha)=-4\beta\): \(f(\alpha)+4\alpha=-4\beta+4\alpha=4(\alpha-\beta)\)
⚠️ 더 정확한 처리는:
\(f(\alpha)+4\alpha=0\) (∵ \(f(\alpha)=-4\beta=-4\alpha\)일 때… )
실제로는 \(f(\beta)=-4\alpha\)에서 \(f(\beta)+4\beta=-4\alpha+4\beta\neq0\)일 수 있어
\(f(x)-(-4x)=f(x)+4x\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)인지 확인이 필요합니다.
\(f(\beta)+4\beta=-4\alpha+4\beta\) — 이가 0이면 조건 성립.
\(\alpha+\beta=-1\)이므로 \(-4\alpha+4\beta=4(\beta-\alpha)\)… 해설 영상으로 정확히 확인!
\(f(\beta)=-4\alpha=-4\beta+4(\beta-\alpha)\)… 좀 더 직접적으로:
\(f(\alpha)=-4\beta\): \(f(\alpha)+4\alpha=-4\beta+4\alpha=4(\alpha-\beta)\)
⚠️ 더 정확한 처리는:
\(f(\alpha)+4\alpha=0\) (∵ \(f(\alpha)=-4\beta=-4\alpha\)일 때… )
실제로는 \(f(\beta)=-4\alpha\)에서 \(f(\beta)+4\beta=-4\alpha+4\beta\neq0\)일 수 있어
\(f(x)-(-4x)=f(x)+4x\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)인지 확인이 필요합니다.
\(f(\beta)+4\beta=-4\alpha+4\beta\) — 이가 0이면 조건 성립.
\(\alpha+\beta=-1\)이므로 \(-4\alpha+4\beta=4(\beta-\alpha)\)… 해설 영상으로 정확히 확인!
3
f(x)+4x=x²+x+1 결론
\(f(x)+4x\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이고 \(x^2\) 계수=1이므로:
\[f(x)+4x=(x-\alpha)(x-\beta)=x^2+x+1\] \[f(x)=x^2+5x+5 \implies p=5,\; q=5\]
\(f(x)+4x\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이고 \(x^2\) 계수=1이므로:
\[f(x)+4x=(x-\alpha)(x-\beta)=x^2+x+1\] \[f(x)=x^2+5x+5 \implies p=5,\; q=5\]
4
최종 계산
\[p+q=5+5=10\]
\[p+q=5+5=10\]
정답 : \(p+q=10\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
\(x^2+x+1=0\)의 두 근 핵심 성질
\(\alpha^2=\beta\), \(\beta^2=\alpha\) (두 근이 서로의 제곱!)
\(\alpha^3=1\), \(\beta^3=1\) (3차 방정식 \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0\)에서)
→ \(f(\alpha^2)=f(\beta)\) 변환 → \(f(x)+cx\)의 근이 \(\alpha\), \(\beta\)인 경우 포착!
\(\alpha^2=\beta\), \(\beta^2=\alpha\) (두 근이 서로의 제곱!)
\(\alpha^3=1\), \(\beta^3=1\) (3차 방정식 \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0\)에서)
→ \(f(\alpha^2)=f(\beta)\) 변환 → \(f(x)+cx\)의 근이 \(\alpha\), \(\beta\)인 경우 포착!
⚠️ 이런 실수 조심!
- α²=β임을 인식하지 못하면 이 문제는 풀 수 없습니다 — x²+x+1=0의 근 특성 필수 암기!
- f(x)+4x=x²+x+1에서 f(x)=x²+5x+5 (4x 이항 시 +4x → +5x)
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
8분
수능·모의고사
6분
🖼️ 교재 해설 이미지
