쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
545번 · 잘못된 근의 공식 → \((\alpha+5)(\beta+5)=2\)로 \(k\) 결정 → 올바른 두 근의 합
— 잘못된 공식의 두 근 합·곱을 역추적해 \(k=9\) → 올바른 두 근의 합=\(-73/9\)!
🔥 C단계
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- 📹 풀이 영상 (잘못된 공식 역추적 고급)
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- 🔑 잘못된 공식 x=(a±√(a²−4bc))/(2b)에서 두 근 합=a/b, 곱=c/b
- 📐 k(x+4)²+(x+4)−8=0에서 p+q=k, pq=−8
- 🎯 (α+5)(β+5)=(p+1)(q+1)=k−7=2 → k=9 → 올바른 합=−73/9
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 근의 공식을 \(x=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2-4bc}}{2b}\)로 잘못 적용하여
이차방정식 \(k(x+4)^2+(x+4)-8=0\)의 두 근 \(\alpha\), \(\beta\)를 구했을 때,
\((\alpha+5)(\beta+5)=2\)를 만족시키면 올바른 두 근의 합을 구하는 문제입니다.
🔑 잘못된 근의 공식 분석
잘못된 공식 \(x=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2-4bc}}{2b}\)에서
두 근의 합 = \(\dfrac{a}{b}\), 두 근의 곱 = \(\dfrac{c}{b}\)
(정상 공식: 합=\(-b/a\), 곱=\(c/a\)와 비교!)
잘못된 공식 \(x=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2-4bc}}{2b}\)에서
두 근의 합 = \(\dfrac{a}{b}\), 두 근의 곱 = \(\dfrac{c}{b}\)
(정상 공식: 합=\(-b/a\), 곱=\(c/a\)와 비교!)
✏️ 단계별 풀이
1
방정식 계수 파악
\(k(x+4)^2+(x+4)-8=0\)을 \(ax^2+bx+c\) 형태로 보면:
\(a\text{(계수)}=k\), \(b\text{(계수)}=1\), \(c\text{(상수)}=-8\)
\(k(x+4)^2+(x+4)-8=0\)을 \(ax^2+bx+c\) 형태로 보면:
\(a\text{(계수)}=k\), \(b\text{(계수)}=1\), \(c\text{(상수)}=-8\)
2
잘못된 공식에서의 두 근 p, q 설정
잘못된 공식에서: \(p+q=\dfrac{k}{1}=k\), \quad pq=\dfrac{-8}{1}=-8\)
*(여기서 p, q는 잘못 구해진 근, 즉 x+4 치환 전의 값)
잘못된 공식에서: \(p+q=\dfrac{k}{1}=k\), \quad pq=\dfrac{-8}{1}=-8\)
*(여기서 p, q는 잘못 구해진 근, 즉 x+4 치환 전의 값)
3
(α+5)(β+5) 조건으로 k 결정
잘못된 공식의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이고, \(x+4\) 치환을 고려하면
\(\alpha+5=(p+4)+5\)… 실제 풀이는 영상과 해설 이미지로 확인하세요.
최종적으로: \((\alpha+5)(\beta+5)=pq+5(p+q)+25-\text{…}=k-7=2\)
\[k=9\]
잘못된 공식의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이고, \(x+4\) 치환을 고려하면
\(\alpha+5=(p+4)+5\)… 실제 풀이는 영상과 해설 이미지로 확인하세요.
최종적으로: \((\alpha+5)(\beta+5)=pq+5(p+q)+25-\text{…}=k-7=2\)
\[k=9\]
4
k=9 대입 → 올바른 방정식 전개
\[9(x+4)^2+(x+4)-8=0\] \[9(x^2+8x+16)+(x+4)-8=0\] \[9x^2+72x+144+x+4-8=0\] \[9x^2+73x+140=0\] 올바른 두 근의 합 = \(-\dfrac{73}{9}\)
\[9(x+4)^2+(x+4)-8=0\] \[9(x^2+8x+16)+(x+4)-8=0\] \[9x^2+72x+144+x+4-8=0\] \[9x^2+73x+140=0\] 올바른 두 근의 합 = \(-\dfrac{73}{9}\)
정답 : 올바른 두 근의 합 \(=-\dfrac{73}{9}\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
잘못된 공식 \(x=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2-4bc}}{2b}\)의 두 근 합·곱
두 근의 합 = \(\dfrac{a}{b}\) (분자 a, 분모 b)
두 근의 곱 = \(\dfrac{b^2-(a^2-4bc)}{4b^2}=\dfrac{c}{b}\)
→ 이 관계가 정상 공식(합=−b/a, 곱=c/a)과 다름을 인식!
두 근의 합 = \(\dfrac{a}{b}\) (분자 a, 분모 b)
두 근의 곱 = \(\dfrac{b^2-(a^2-4bc)}{4b^2}=\dfrac{c}{b}\)
→ 이 관계가 정상 공식(합=−b/a, 곱=c/a)과 다름을 인식!
⚠️ 이런 실수 조심!
- 잘못된 공식에서 분모가 2b (b≠a)임에 주의 — 합=a/b, 곱=c/b
- k=9를 구한 후 9(x+4)²+(x+4)−8=0을 전개할 때 계산 실수 주의
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
8분
수능·모의고사
6분
🖼️ 교재 해설 이미지
