쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
508번 · 두 이차방정식에서 \(a, b, \alpha, \beta\) 연립으로 \(p+q\) 결정
— 각 방정식의 “알려진 근”으로 계수 결정 → α, β 특정!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (두 방정식 연립 + α, β 추적)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 첫 방정식: 근 −1, α → a, b를 α로 표현 / 두 번째: 근 3, β → a, b를 β로 표현
- 📐 연립: α=−3, β=−2 → p=5, q=6 → p+q=11
- ⚠️ 두 방정식에서 a, b가 같은 값임을 이용해 연립!
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+(a-2)x-b=0\)의 두 근이 \(-1\), \(\alpha\)이고,
이차방정식 \(x^2+(b+2)x-a=0\)의 두 근이 \(3\), \(\beta\)일 때,
\(\alpha\), \(\beta\)를 두 근으로 하는 \(x^2+px+q=0\)에서 \(p+q\)를 구하는 문제입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
첫 번째 방정식 — 근과 계수의 관계
두 근 \(-1\), \(\alpha\):
합: \(-1+\alpha = -(a-2) = 2-a\) ···①
곱: \(-1\cdot\alpha = -b \implies \alpha = b\) ···②
두 근 \(-1\), \(\alpha\):
합: \(-1+\alpha = -(a-2) = 2-a\) ···①
곱: \(-1\cdot\alpha = -b \implies \alpha = b\) ···②
2
두 번째 방정식 — 근과 계수의 관계
두 근 \(3\), \(\beta\):
합: \(3+\beta = -(b+2) = -b-2\) ···③
곱: \(3\beta = -a\) ···④
두 근 \(3\), \(\beta\):
합: \(3+\beta = -(b+2) = -b-2\) ···③
곱: \(3\beta = -a\) ···④
3
연립하여 α, β, a, b 결정
②에서 \(\alpha=b\), ④에서 \(a=-3\beta\)
①: \(-1+b = 2-(-3\beta) = 2+3\beta\)
③: \(3+\beta = -b-2\)
②,③ 연립: \(3+\beta=-\alpha-2 \implies \alpha+\beta=-5\)
①,③ 정리: \(b-\alpha = 3+3\beta\) … 단계별 대입으로
결론: \(\alpha=-3\), \(\beta=-2\)
②에서 \(\alpha=b\), ④에서 \(a=-3\beta\)
①: \(-1+b = 2-(-3\beta) = 2+3\beta\)
③: \(3+\beta = -b-2\)
②,③ 연립: \(3+\beta=-\alpha-2 \implies \alpha+\beta=-5\)
①,③ 정리: \(b-\alpha = 3+3\beta\) … 단계별 대입으로
결론: \(\alpha=-3\), \(\beta=-2\)
4
p, q 결정
\(p = -(\alpha+\beta) = -(-3-2) = 5\)
\(q = \alpha\beta = (-3)(-2) = 6\)
\[p+q = 11\]
\(p = -(\alpha+\beta) = -(-3-2) = 5\)
\(q = \alpha\beta = (-3)(-2) = 6\)
\[p+q = 11\]
정답 : ⑤ \(p+q=11\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
두 방정식 연립으로 미지수 결정 루틴
① 각 방정식에서 “알려진 근”을 이용해 합·곱 관계 수립
② a, b를 α 또는 β의 식으로 표현
③ 두 방정식 연립 → α, β 수치 결정
④ 새 이차방정식 작성
① 각 방정식에서 “알려진 근”을 이용해 합·곱 관계 수립
② a, b를 α 또는 β의 식으로 표현
③ 두 방정식 연립 → α, β 수치 결정
④ 새 이차방정식 작성
⚠️ 이런 실수 조심!
- 두 방정식에서 a, b가 같은 값이라는 것을 의식하지 않고 풀다가 혼동
- 첫 방정식의 “두 근의 합 = −(a−2)” 공식에서 부호 실수 — x²+(a−2)x−b=0에서 두 근의 합 = −(a−2)
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
5분
수능·모의고사
4분
🖼️ 교재 해설 이미지
