쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
507번 · 반원 내접 직각삼각형 → \(\alpha^2\), \(\beta^2\)를 근으로 하는 이차방정식
— ∠APB=90° → PH²=AH·BH (방멱의 정리) 적용!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
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- 📹 풀이 영상 (기하 조건 + 이차방정식 작성)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 ∠APB=90°(반원에 내접) → PH²=AH·BH → αβ=9
- 📐 α+β=AB=8, αβ=PH²=9 → α²+β²=46, (αβ)²=81
- ⚠️ 방멱의 정리 PH²=AH·BH를 기억해야 이 문제 풀 수 있음!
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
지름 AB=8인 반원에서 원 위의 점 P, 발 H에 대해 AH=α, BH=β, PH=3일 때,
\(\alpha^2\), \(\beta^2\)을 두 근으로 하는 이차방정식 \(x^2+ax+b=0\)에서 \(a-b\)를 구하는 문제입니다.
🗝️ 핵심 기하 정리
반원에 내접하는 삼각형: ∠APB=90° (반원에 내접하는 각 = 90°)
직각삼각형의 수선 성질: PH² = AH · BH
(직각삼각형에서 직각의 꼭짓점에서 빗변에 내린 수선의 발의 성질)
반원에 내접하는 삼각형: ∠APB=90° (반원에 내접하는 각 = 90°)
직각삼각형의 수선 성질: PH² = AH · BH
(직각삼각형에서 직각의 꼭짓점에서 빗변에 내린 수선의 발의 성질)
✏️ 단계별 풀이
1
α+β, αβ 결정
\(\alpha+\beta = AH+BH = AB = 8\)
\(\alpha\beta = AH\cdot BH = PH^2 = 3^2 = 9\)
\(\alpha+\beta = AH+BH = AB = 8\)
\(\alpha\beta = AH\cdot BH = PH^2 = 3^2 = 9\)
2
α², β²의 합·곱 계산
합: \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=64-18=46\)
곱: \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=81\)
합: \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=64-18=46\)
곱: \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=81\)
3
이차방정식 계수 결정
\[x^2-46x+81=0\] 따라서 \(a=-46\), \(b=81\)
\[a-b=-46-81=-127\]
\[x^2-46x+81=0\] 따라서 \(a=-46\), \(b=81\)
\[a-b=-46-81=-127\]
정답 : \(-127\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
반원 내접 직각삼각형 수선 공식
\[PH^2 = AH \cdot BH \quad (\text{직각의 꼭짓점에서 빗변에 내린 수선의 발})\]
이 공식은 중학교 수학의 닮음에서 증명되며 이 문제의 핵심입니다.
기억법: “수선의 발의 제곱 = 두 선분의 곱”
\[PH^2 = AH \cdot BH \quad (\text{직각의 꼭짓점에서 빗변에 내린 수선의 발})\]
이 공식은 중학교 수학의 닮음에서 증명되며 이 문제의 핵심입니다.
기억법: “수선의 발의 제곱 = 두 선분의 곱”
⚠️ 이런 실수 조심!
- PH²=AH·BH 공식을 모르거나 PH=AH·BH로 잘못 기억하는 실수
- α+β=8, αβ=9를 (α², β²)의 합·곱이라고 착각하는 실수 — (α², β²)의 합=α²+β²=(α+β)²−2αβ=46!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
