쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
503번 · \(\alpha^2\), \(\beta^2\)가 두 번째 방정식의 근 — \(b<0\) 조건으로 \(a^3+b^3\)
— \(b^2=b+6\)에서 \(b<0\) 조건으로 \(b=-2\) 선택!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (제곱 근 + b<0 조건 연립)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 α²+β²=(α+β)²−2αβ, α²β²=(αβ)²를 두 번째 방정식 계수와 연결
- 📐 b²=b+6 → b=−2(b<0), a²−2b=2a+3 → a=1
- ⚠️ b<0 조건으로 b=3 제외! 조건 검토 필수
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-ax+b=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이고,
이차방정식 \(x^2-(2a+3)x+b+6=0\)의 두 근이 \(\alpha^2\), \(\beta^2\)일 때 (단 \(b<0\)),
\(a^3+b^3\)의 값을 구하는 문제입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
첫 번째 방정식
\(\alpha+\beta=a\), \quad \(\alpha\beta=b\)
\(\alpha+\beta=a\), \quad \(\alpha\beta=b\)
2
두 번째 방정식과 연결
\(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta = a^2-2b = 2a+3 \quad\cdots\text{①}\)
\(\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = b^2 = b+6 \quad\cdots\text{②}\)
\(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta = a^2-2b = 2a+3 \quad\cdots\text{①}\)
\(\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = b^2 = b+6 \quad\cdots\text{②}\)
3
② 풀기: b 결정
\[b^2-b-6=0 \implies (b-3)(b+2)=0 \implies b=3 \text{ 또는 } b=-2\] \(b<0\) 조건에서 \(b=-2\)
\[b^2-b-6=0 \implies (b-3)(b+2)=0 \implies b=3 \text{ 또는 } b=-2\] \(b<0\) 조건에서 \(b=-2\)
4
① 풀기: a 결정
\(b=-2\)를 ①에 대입: \(a^2+4=2a+3 \implies a^2-2a+1=0 \implies (a-1)^2=0 \implies a=1\)
\(b=-2\)를 ①에 대입: \(a^2+4=2a+3 \implies a^2-2a+1=0 \implies (a-1)^2=0 \implies a=1\)
5
최종 계산
\[a^3+b^3 = 1^3+(-2)^3 = 1-8 = -7\]
\[a^3+b^3 = 1^3+(-2)^3 = 1-8 = -7\]
정답 : ① \(a^3+b^3=-7\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
조건부 두 값 문제 루틴
① 연립방정식 수립 (이차방정식 두 개)
② 쉬운 방정식부터 풀어 변수 결정
③ 문제의 조건(b<0)으로 해 선별
④ 나머지 변수 결정
① 연립방정식 수립 (이차방정식 두 개)
② 쉬운 방정식부터 풀어 변수 결정
③ 문제의 조건(b<0)으로 해 선별
④ 나머지 변수 결정
⚠️ 이런 실수 조심!
- b<0 조건을 무시하고 b=3도 사용하는 실수 — 반드시 조건 검토!
- ① a²−2b=2a+3 전개 중 −2b에서 부호 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
5분
수능·모의고사
4분
🖼️ 교재 해설 이미지
