쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
499번 · \(|\alpha|+|\beta|=3\) 절댓값 조건으로 \(\alpha^2+\beta^2\) 계산
— \(\alpha\beta<0\)이면 \((|\alpha|+|\beta|)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\)!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (αβ 부호 판별 + 절댓값 처리)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 αβ=−2a < 0 → 두 근의 부호가 달라 절댓값 처리 특별!
- 📐 (|α|+|β|)²=(α+β)²−4αβ 공식 (αβ<0일 때)
- ⚠️ αβ < 0이면 |α|+|β| ≠ |α+β|
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-ax-2a=0\)의 두 근 \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여 \(|\alpha|+|\beta|=3\)일 때 (단 \(a>0\)),
\(\alpha^2+\beta^2\)의 값을 구하는 문제입니다.
🗝️ 이 문제의 핵심: αβ의 부호 먼저 확인!
\(\alpha\beta = -2a\)이고 \(a>0\)이므로 \(\alpha\beta < 0\)
→ 두 근의 부호가 반대 → \(|\alpha|+|\beta| \neq |\alpha+\beta|\)
αβ < 0일 때: \((|\alpha|+|\beta|)^2 = \alpha^2+\beta^2+2|\alpha\beta| = (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\)
\(\alpha\beta = -2a\)이고 \(a>0\)이므로 \(\alpha\beta < 0\)
→ 두 근의 부호가 반대 → \(|\alpha|+|\beta| \neq |\alpha+\beta|\)
αβ < 0일 때: \((|\alpha|+|\beta|)^2 = \alpha^2+\beta^2+2|\alpha\beta| = (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\)
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta = a\), \quad \(\alpha\beta = -2a\)
\(\alpha+\beta = a\), \quad \(\alpha\beta = -2a\)
2
(|α|+|β|)²=9 적용
\[(|\alpha|+|\beta|)^2 = (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta = a^2-4(-2a) = a^2+8a = 9\] \[a^2+8a-9 = 0 \implies (a+9)(a-1) = 0\] \(a>0\)이므로 \(a=1\)
\[(|\alpha|+|\beta|)^2 = (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta = a^2-4(-2a) = a^2+8a = 9\] \[a^2+8a-9 = 0 \implies (a+9)(a-1) = 0\] \(a>0\)이므로 \(a=1\)
3
α²+β² 계산
\(a=1\)에서 \(\alpha+\beta=1\), \(\alpha\beta=-2\)
\[\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta = 1+4 = 5\]
\(a=1\)에서 \(\alpha+\beta=1\), \(\alpha\beta=-2\)
\[\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta = 1+4 = 5\]
정답 : ② \(\alpha^2+\beta^2 = 5\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
절댓값 합 처리 — 경우별 공식
| αβ의 부호 | 두 근의 관계 | (|α|+|β|)² |
|---|---|---|
| αβ > 0 (같은 부호) | |α|+|β|=|α+β| | (α+β)² |
| αβ < 0 (다른 부호) | |α|+|β| > |α+β| | (α+β)²−4αβ |
⚠️ 이런 실수 조심!
- αβ < 0인데 |α|+|β|=|α+β|=a로 잘못 처리하는 실수 — 부호가 다른 두 근의 절댓값 합은 |α+β|가 아닙니다!
- (|α|+|β|)²을 α²+β²+2αβ로 전개하는 실수 — 올바른 전개는 α²+β²+2|α||β|=α²+β²+2|αβ|입니다.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
