쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
486번 · 근과 계수의 관계 (2) — \(\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}\) 계산
— 분자 통분 → \((\alpha^2+\beta^2)/(\alpha\beta)\)로 변환!
난이도 : 중
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (α/β+β/α 변환 공식 적용)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 α+β, αβ → α²+β²=(α+β)²-2αβ → α/β+β/α 계산
- 📐 분수 대칭식은 항상 통분 후 α²+β²/αβ 형태로!
- ⚠️ αβ=0이면 나눗셈 불가 → 먼저 확인
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(2x^2-3x+1=0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \(\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}\)의 값을 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 변환 공식
\[\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}\]
\[\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}\]
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta=\dfrac{3}{2}\), \(\quad\alpha\beta=\dfrac{1}{2}\)
\(\alpha+\beta=\dfrac{3}{2}\), \(\quad\alpha\beta=\dfrac{1}{2}\)
2
α²+β² 계산
\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=\dfrac{9}{4}-1=\dfrac{5}{4}\)
\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=\dfrac{9}{4}-1=\dfrac{5}{4}\)
3
최종 계산
\[\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{5/4}{1/2}=\frac{5}{2}\]
\[\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{5/4}{1/2}=\frac{5}{2}\]
정답 : \(\dfrac{5}{2}\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
분수 대칭식 변환 루틴
\(\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}\)
계산 순서: ① 근과 계수의 관계 → ② α²+β² 계산 → ③ αβ로 나누기
\(\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}\)
계산 순서: ① 근과 계수의 관계 → ② α²+β² 계산 → ③ αβ로 나누기
⚠️ 이런 실수 조심!
- α/β+β/α = (α+β)/(αβ)로 잘못 쓰는 실수 — 반드시 통분 후 (α²+β²)/(αβ) 형태로 변환!
- αβ=1/2 계산 시 2x²-3x+1에서 상수항/최고차계수 = 1/2 확인
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분
수능·모의고사
1분 30초
🖼️ 교재 해설 이미지
