쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
485번 · \(\alpha^2-3a\alpha+1=-2\alpha\) 변환 → \((\alpha^2-3a\alpha+1)(\beta^2-3a\beta+1)\)
— 원래 방정식에서 \(\alpha^2-(3a-2)\alpha+1=0\)을 이용해 \(\alpha^2-3a\alpha+1=-2\alpha\)로 변환!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
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- 📹 풀이 영상 (근이 만족하는 식 활용 고급)
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- 🔑 α²−(3a−2)α+1=0에서 α²−3aα+1=−2α
- 📐 (−2α)(−2β)=4αβ=4·1=4
- ⚠️ α²−3aα+1을 원래 방정식에서 유도하는 아이디어가 전부!
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-(3a-2)x+1=0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때,
\((\alpha^2-3a\alpha+1)(\beta^2-3a\beta+1)\)의 값을 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 변환 아이디어
\(\alpha\)가 \(x^2-(3a-2)x+1=0\)의 근이므로:
\[\alpha^2-(3a-2)\alpha+1=0\] \[\alpha^2-3a\alpha+2\alpha+1=0\] \[\alpha^2-3a\alpha+1=-2\alpha\]
\(\alpha\)가 \(x^2-(3a-2)x+1=0\)의 근이므로:
\[\alpha^2-(3a-2)\alpha+1=0\] \[\alpha^2-3a\alpha+2\alpha+1=0\] \[\alpha^2-3a\alpha+1=-2\alpha\]
✏️ 단계별 풀이
1
변환 적용
\(\alpha^2-3a\alpha+1=-2\alpha\), \(\beta^2-3a\beta+1=-2\beta\)
\(\alpha^2-3a\alpha+1=-2\alpha\), \(\beta^2-3a\beta+1=-2\beta\)
2
곱 계산
\[(\alpha^2-3a\alpha+1)(\beta^2-3a\beta+1)=(-2\alpha)(-2\beta)=4\alpha\beta\]
\[(\alpha^2-3a\alpha+1)(\beta^2-3a\beta+1)=(-2\alpha)(-2\beta)=4\alpha\beta\]
3
αβ 결정
근과 계수의 관계: \(\alpha\beta=1\)
\[4\alpha\beta=4\cdot1=4\]
근과 계수의 관계: \(\alpha\beta=1\)
\[4\alpha\beta=4\cdot1=4\]
정답 : ④ 4
🧠 외워두면 좋은 패턴
“근이 만족하는 식” 활용 루틴
① 구하려는 식 \(f(\alpha)\)를 원래 방정식으로 변환
② \(\alpha^2+p\alpha+q=0\)에서 \(\alpha^2=-(p\alpha+q)\) 이용
③ \(f(\alpha)\)를 \(\alpha\)의 1차식으로 변환 → \(f(\alpha)\cdot f(\beta)\) 계산
① 구하려는 식 \(f(\alpha)\)를 원래 방정식으로 변환
② \(\alpha^2+p\alpha+q=0\)에서 \(\alpha^2=-(p\alpha+q)\) 이용
③ \(f(\alpha)\)를 \(\alpha\)의 1차식으로 변환 → \(f(\alpha)\cdot f(\beta)\) 계산
⚠️ 이런 실수 조심!
- α²−(3a−2)α+1=0에서 α²−3aα+1=−2α 유도 시 +2α 이항 실수
- αβ=1 (÷1): x²−(3a−2)x+1=0에서 상수항=1이므로 αβ=1
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
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