쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
475번 · 판별식과 삼각형의 모양 — 둔각삼각형
— \(D/4<0\) → \(b^2<a^2-c^2\) → \(a^2>b^2+c^2\) → 둔각!
난이도 : 중
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (판별식 → 삼각형 판별 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 \((a+c)(a-c)=a^2-c^2\) 인수분해 활용
- 📊 판별식으로 삼각형 모양 판별 총정리표
- ⚠️ 어느 각이 둔각인지 확인하는 방법
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \((a+c)x^2+2bx+(a-c)=0\)이 허근을 가질 때,
\(a, b, c\)를 세 변의 길이로 하는 삼각형의 종류를 구하는 문제입니다.
💡 핵심 전략
허근 조건 \(D/4<0\)에서 부등식을 정리하면
\(a^2>b^2+c^2\) 꼴이 나옵니다.
이 조건은 변 \(a\)의 대각이 둔각임을 의미합니다!
허근 조건 \(D/4<0\)에서 부등식을 정리하면
\(a^2>b^2+c^2\) 꼴이 나옵니다.
이 조건은 변 \(a\)의 대각이 둔각임을 의미합니다!
✏️ 단계별 풀이
1
허근 조건 \(D/4<0\)
\[\frac{D}{4}=b^2-(a+c)(a-c)=b^2-(a^2-c^2)<0\] \[b^2-a^2+c^2<0\] \[b^2+c^2<a^2\]
\[\frac{D}{4}=b^2-(a+c)(a-c)=b^2-(a^2-c^2)<0\] \[b^2-a^2+c^2<0\] \[b^2+c^2<a^2\]
2
삼각형 종류 판별
\(a^2>b^2+c^2\)이므로
변 \(a\)의 대각이 둔각인 삼각형 → 둔각삼각형
\(a^2>b^2+c^2\)이므로
변 \(a\)의 대각이 둔각인 삼각형 → 둔각삼각형
📊 판별식으로 삼각형 모양 판별 총정리
| 조건 | 판별식 | 삼각형 모양 |
|---|---|---|
| \(a^2=b^2+c^2\) | \(D=0\) (중근) | 직각삼각형 (직각: \(a\) 대각) |
| \(a^2>b^2+c^2\) | \(D<0\) (허근) | 둔각삼각형 (둔각: \(a\) 대각) |
| \(a^2<b^2+c^2\) | \(D>0\) (두 실근) | 예각삼각형 |
| \(a=b=c\) | 특수 중근 조건 | 정삼각형 |
정답 : 둔각삼각형 (\(a^2 > b^2+c^2\))
🧠 외워두면 좋은 패턴
판별식 + 삼각형 연결고리
판별식 계산 결과가 \(b^2-(a^2-c^2)\) 꼴이면
→ \(b^2+c^2\)과 \(a^2\)을 비교하는 형태로 변환!
→ 피타고라스 정리와 연결해 삼각형 종류 결정
이 유형은 판별식을 계산하면 자동으로 삼각형 관계식이 나오는 구조입니다.
판별식 계산 결과가 \(b^2-(a^2-c^2)\) 꼴이면
→ \(b^2+c^2\)과 \(a^2\)을 비교하는 형태로 변환!
→ 피타고라스 정리와 연결해 삼각형 종류 결정
이 유형은 판별식을 계산하면 자동으로 삼각형 관계식이 나오는 구조입니다.
⚠️ 이런 실수 조심!
- \((a+c)(a-c)=a^2-c^2\) 전개 없이 그냥 \(ac\)로 쓰는 실수 — 합차 공식 \((A+B)(A-B)=A^2-B^2\) 적용!
- \(b^2+c^2<a^2\)에서 둔각이 \(b\)의 대각이라고 쓰는 실수 — 가장 긴 변 \(a\)의 대각이 둔각입니다.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분
수능·모의고사
1분 30초
⚡ 판별식 → 부등식 → 삼각형 모양의 3단계 흐름을 반사적으로 떠올릴 수 있도록 위의 표를 암기해 두세요.
🖼️ 교재 해설 이미지
