쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
473번 · \(P(x)\), \(Q(x)\) 판별식 관계 \(D_2=D_1-2\)
— 두 판별식의 차이가 항상 2! 이 관계가 보기 판별의 열쇠
난이도 : 상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (두 판별식 관계식 활용 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 \(D_1/4=2a+1\), \(D_2/4=2a-1\) → \(D_2=D_1-2\) 관계 도출
- 📊 보기 ㄱ~ㄷ 판별표
- ⚠️ \(D_1 \geq 0\)이어도 \(D_2\)는 음수일 수 있음
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
\(P(x)=x^2+2(a+1)x+a^2\), \(Q(x)=x^2+2ax+(a-1)^2\)에 대하여 옳은 것을 보기에서 고르는 문제입니다.
핵심 관계식 도출
\(\dfrac{D_1}{4}=(a+1)^2-a^2=2a+1\)
\(\dfrac{D_2}{4}=a^2-(a-1)^2=2a-1\)
\(\Rightarrow D_2/4 = D_1/4 – 2\) (즉, \(D_2 = D_1 – 8\), 또는 분수값 기준 항상 2 차이)
\(\dfrac{D_1}{4}=(a+1)^2-a^2=2a+1\)
\(\dfrac{D_2}{4}=a^2-(a-1)^2=2a-1\)
\(\Rightarrow D_2/4 = D_1/4 – 2\) (즉, \(D_2 = D_1 – 8\), 또는 분수값 기준 항상 2 차이)
✏️ 각 보기 판별
| 보기 | 조건 | 적용 | 결론 |
|---|---|---|---|
| ㄱ | \(P(x)=0\)이 실근 \((D_1\geq0)\) | \(D_2/4=D_1/4-2\), \(D_1/4\geq0\)이면 \(D_2/4\geq-2\) (부호 불확실) | \(Q(x)=0\)이 실근을 갖는다고 단정 불가 ✗ |
| ㄴ | \(P(x)=0\)이 중근 \((D_1/4=0)\) | \(D_2/4=0-2=-2<0\) | \(Q(x)=0\)은 두 허근 ✓ |
| ㄷ | \(P(x)=0\)이 허근 \((D_1/4<0)\) | \(D_2/4=D_1/4-2<-2<0\) | \(Q(x)=0\)도 두 허근 ✓ |
정답 : ⑤ ㄴ, ㄷ
🧠 외워두면 좋은 패턴
두 판별식 관계 활용 패턴
\(D_1\)과 \(D_2\)를 각각 계산하면 같은 변수(\(a\))에 대한 1차식이 나옵니다.
두 식의 차이를 구하면 상수가 되어 관계식 \(D_2 = D_1 \pm C\)가 성립합니다.
→ \(D_1\)의 조건에서 \(D_2\)의 값 범위를 즉시 결정 가능!
\(D_1\)과 \(D_2\)를 각각 계산하면 같은 변수(\(a\))에 대한 1차식이 나옵니다.
두 식의 차이를 구하면 상수가 되어 관계식 \(D_2 = D_1 \pm C\)가 성립합니다.
→ \(D_1\)의 조건에서 \(D_2\)의 값 범위를 즉시 결정 가능!
⚠️ 이런 실수 조심!
- ㄱ: \(D_1 \geq 0\)이면 \(D_2 \geq 0\)이라고 잘못 추론 — \(D_2 = D_1 – 2\)이므로 \(D_1=0\)일 때 \(D_2=-2<0\)입니다.
- \(D_1/4\)와 \(D_1\)을 혼용 — 분수값 기준으로 \(D_2/4=D_1/4-2\)임을 정확히 구별하세요.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
📚 추천 학습 루트
① 연산 워크시트
② 개념 포스트
③ 마플시너지
개념 098
실근의 부호 판별
개념 099
근의 분리 조건