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Aⁿ+Bⁿ=O을 만족하는 n의 최솟값
TOUGH │ 마플시너지 공통수학1 13단원📋 문제 요약
두 행렬 A, B에 대하여 Aⁿ+Bⁿ=O(영행렬)을 만족시키는 양의 정수 n의 최솟값을 구하는 문제입니다.
정답
6
🔑 핵심 단서
A²=−E, B³=−E를 각각 발견하는 것이 핵심입니다. Aⁿ=kE 꼴이 되려면 n은 2의 배수, Bⁿ=kE 꼴이 되려면 n은 3의 배수여야 합니다. n이 2와 3의 공배수인 6의 배수일 때 A⁶ᵏ=(A²)³ᵏ=(−E)³ᵏ, B⁶ᵏ=(B³)²ᵏ=(−E)²ᵏ이 됩니다. k가 홀수이면 합이 O이 되므로 최솟값은 n=6입니다.
🧭 풀이 전략
STEP A A²=−E(케일리-해밀턴으로도 확인 가능), B²를 거쳐 B³=−E 확인
STEP B n=6k(k 홀수)일 때 A⁶ᵏ=(−E)³ᵏ=−E, B⁶ᵏ=(−E)²ᵏ=E이므로 합=−E+E=O. 최솟값 n=6
두 행렬의 거듭제곱이 각각 ±E가 되는 주기를 찾고, 두 주기의 최소공배수에서 부호까지 일치하는 조건을 따져야 합니다.
🖼️ 해설 이미지
🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
🚫 주의할 점
- A⁴=E, B⁶=E이므로 주기만 보면 n=12의 배수라 생각하기 쉽지만, Aⁿ+Bⁿ=O이 되려면 부호가 반대여야 합니다. 단순 최소공배수가 아닌 부호 조건까지 확인해야 합니다.
- A⁶=(−E)³=−E이고 B⁶=(−E)²=E이므로 합=O입니다. A⁶=E로 잘못 계산하면 n=6이 아닌 다른 값을 답으로 적게 됩니다.
- B³ 계산 시 B²을 먼저 구하고 B²×B를 해야 합니다. 3×3 연속 곱을 한꺼번에 하면 실수 확률이 높아집니다.