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행렬의 곱과 이차함수 최대·최소
TOUGH │ 마플시너지 공통수학1 13단원📋 문제 요약
(1×2)×(2×2)×(2×1) 행렬의 곱으로 정의된 행렬 A의 성분을 x+y=4(x≥0, y≥0) 조건에서 최댓값 M과 최솟값 m을 구하고 M−m의 값을 구하는 문제입니다.
정답
① 4
🔑 핵심 단서
(1×2)×(2×2)×(2×1) 행렬의 곱은 1×1 행렬, 즉 하나의 수가 됩니다. 실제 곱셈을 수행하면 A의 성분은 x²+xy+y²이 됩니다. y=4−x를 대입하면 x에 대한 이차함수가 되어 닫힌 구간 [0, 4]에서의 최대·최소 문제로 바뀝니다.
🧭 풀이 전략
STEP A 행렬 곱셈 순서대로 계산 → A의 성분 = x²+xy+y²
STEP B y=4−x 대입 → x²−4x+16=(x−2)²+12. 0≤x≤4에서 최솟값 12(x=2), 최댓값 16(x=0 또는 4) → M−m=4
행렬의 곱셈에서 크기가 다른 행렬끼리의 곱이 가능한 조건을 먼저 확인하고, 결과 행렬의 크기를 예측하는 것이 중요합니다. 이 문제에서는 (1×2)(2×2)(2×1)=(1×1)로 스칼라 값이 나옵니다.
🖼️ 해설 이미지
🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
🚫 주의할 점
- 행렬 곱셈 순서를 왼쪽부터 차례로 계산해야 합니다. (1×2)(2×2)를 먼저 하면 (1×2), 다시 (1×2)(2×1)=(1×1)이 됩니다.
- y=4−x 대입 후 정리 과정에서 x²+x(4−x)+(4−x)²=x²−4x+16인데 전개를 잘못하면 계수가 틀립니다.
- 닫힌 구간 [0, 4]에서 꼭짓점(x=2)이 구간 내에 있으므로 최솟값은 꼭짓점, 최댓값은 양 끝점에서 나옵니다. 구간을 무시하면 오답이 됩니다.