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행렬의 거듭제곱과 인수분해
TOUGH │ 마플시너지 공통수학1 13단원📋 문제 요약
행렬 A의 성분에 미지수 a가 포함되어 있을 때, A²의 (1,1) 성분과 (2,1) 성분이 같아지는 실수 a의 값의 합을 구하는 문제입니다.
정답
② −1
🔑 핵심 단서
A²을 직접 계산하여 (1,1) 성분과 (2,1) 성분을 a에 대한 식으로 나타낸 뒤, 두 식을 같다고 놓으면 삼차방정식이 나옵니다. 이를 인수정리+조립제법으로 인수분해하여 모든 실수근을 구하고, 그 합을 구하는 것이 핵심 전략입니다.
🧭 풀이 전략
STEP A A²=AA 계산 → (1,1) 성분: 1+a³+a², (2,1) 성분: 3a+3
STEP B 1+a³+a²=3a+3 정리 → a³+a²−3a−2=0. 인수정리로 a=−2가 근 → 조립제법으로 (a+2)(a²−a−1)=0. 이차방정식의 근과 계수의 관계로 모든 근의 합 = −2+1=−1
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🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
🚫 주의할 점
- A²의 (1,1) 성분을 계산할 때 1·1+a²·(a+1)=1+a³+a²인데 전개 과정에서 항을 빠뜨리는 실수가 많습니다.
- 삼차방정식의 근을 구한 뒤 “실수 a의 값의 합”을 구해야 합니다. 이차방정식 a²−a−1=0의 두 근도 실수이므로 세 근 모두 합산해야 합니다.
- 조립제법에서 계수의 부호를 잘못 넣으면 인수분해 결과가 달라집니다. a³+a²−3a−2의 계수 1, 1, −3, −2를 정확히 쓰세요.