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최다빈출 · 이차함수 x축 교점 조건
정답 10
🔑 핵심 단서
판별식 y = x²+ax+2b가 x축과 만남 → x²+ax+2b = 0이 실근 → D = a²−8b ≥ 0
범위 a, b는 6 이하의 자연수 (주사위) → a ∈ {1,…,6}, b ∈ {1,…,6}
전략 1447번과 같은 유형! b를 고정하고 a² ≥ 8b를 만족하는 a 세기
💡 왜 이렇게 풀어야 하는가
“x축과 적어도 한 점에서 만남” = 이차방정식이 실근을 가짐 = D ≥ 0. 이걸 a, b 부등식으로 바꾸면 경우의 수 세기 문제가 됩니다.
상수항이 b가 아니라 2b인 점에 주의! D = a²−4·(2b) = a²−8b
b=1 → a² ≥ 8, a ≥ 3 → (3,1)(4,1)(5,1)(6,1) = 4가지
b=2 → a² ≥ 16, a ≥ 4 → (4,2)(5,2)(6,2) = 3가지
b=3 → a² ≥ 24, a ≥ 5 → (5,3)(6,3) = 2가지
b=4 → a² ≥ 32, a ≥ 6 → (6,4) = 1가지
b=5 → a² ≥ 40, a ≥ 7 → 없음
b=6 → a² ≥ 48, a ≥ 7 → 없음
합의 법칙: 4+3+2+1 = 10
① x축 교점 → D ≥ 0
② a² ≥ 8b 세우기
③ b별 경우 세기
④ 합의 법칙
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⚠️ 자주 하는 실수
상수항을 b로 착각 — 원래 식이 x²+ax+2b이므로 D = a²−8b
D > 0으로 세움 — “적어도 한 점”이므로 접하는 경우(중근) 포함, D ≥ 0
√ 어림 실수 — √8 ≈ 2.83, √16 = 4, √24 ≈ 4.90, √32 ≈ 5.66 정확히 계산해야 함
b=0인 경우를 포함 — 주사위이므로 b ≥ 1, b=0은 없음
4+3+2+1 = 10