마플시너지공수1답지 1428번 TOUGH 핵심 포인트

1428번은 9단원 이차부등식 서술형 최다빈출 왕중요 문제로, f(x)=a(x+1)(x−3)(a<0)에 대해 f((x−k)/2)≥0의 해가 0≤x≤8일 때 k를 구하고, f((−x+k)/3)≥0의 해 α≤x≤β에서 β−α의 값을 구하는 문제입니다.

① f(x)의 식 — y=f(x)의 그래프가 x축과 (−1, 0), (3, 0)에서 만나고 a<0이므로 f(x)=a(x+1)(x−3) (위로 볼록).

② f((x−k)/2)≥0 — f(t)≥0의 해는 −1≤t≤3. t=(x−k)/2로 치환하면 −1≤(x−k)/2≤3, 즉 k−2≤x≤k+6.

③ 해가 0≤x≤8이므로 k−2=0, k+6=8에서 k=2.

④ f((−x+2)/3)≥0 — −1≤(−x+2)/3≤3에서 −3≤−x+2≤9, −7≤x≤5. (부등호 방향 주의: 양변에 −1 곱하면 뒤집힘)

⑤ α=−7, β=5이므로 β−α=5−(−7) = 12.

정답: 12.