Ⅰ. 다항식 > Ⅰ-2. 나머지정리와 인수분해답지나라개념사전
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항등식의 성질
항등식이면 모든 계수가 0 · 양변의 동류항 계수가 일치
1. 항등식의 성질
(1) ax+b=0이 x에 대한 항등식 ⟺ a=0, b=0
ax+b=a‘x+b‘이 x에 대한 항등식 ⟺ a=a‘, b=b‘
(2) ax²+bx+c=0이 x에 대한 항등식 ⟺ a=0, b=0, c=0
ax²+bx+c=a‘x²+b‘x+c‘이 x에 대한 항등식 ⟺ a=a‘, b=b‘, c=c‘
(3) ax+by+c=0이 x, y에 대한 항등식 ⟺ a=0, b=0, c=0
ax+by+c=a‘x+b‘y+c‘이 x, y에 대한 항등식 ⟺ a=a‘, b=b‘, c=c‘
ax+b=a‘x+b‘이 x에 대한 항등식 ⟺ a=a‘, b=b‘
(2) ax²+bx+c=0이 x에 대한 항등식 ⟺ a=0, b=0, c=0
ax²+bx+c=a‘x²+b‘x+c‘이 x에 대한 항등식 ⟺ a=a‘, b=b‘, c=c‘
(3) ax+by+c=0이 x, y에 대한 항등식 ⟺ a=0, b=0, c=0
ax+by+c=a‘x+b‘y+c‘이 x, y에 대한 항등식 ⟺ a=a‘, b=b‘, c=c‘
💡 기호 ⟺ 는 서로 같은 뜻임을 나타냅니다
항등식의 성질을 외울 필요는 없습니다. 간단히 “항등식은 좌·우변의 식이 일치”라고 생각하면 OK!
2. 항등식의 성질 (1) 확인
항등식의 성질 (1)을 확인해 봅시다.
📝 (ⅰ) ax+b=0이 x에 대한 항등식이면
x=0을 대입하면 a·0+b=0 ∴ b=0 …… ⓐ
x=1을 대입하면 a+b=0 …… ⓑ
ⓐ, ⓑ에서 a=0, b=0
📝 (ⅱ) 거꾸로 a=0, b=0이면
모든 x에 대하여 ax+b=0이 성립합니다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 ax+b=0이 x에 대한 항등식 ⟺ a=0, b=0
또한 ax+b=a‘x+b‘에서 (a−a‘)x+(b−b‘)=0이 되어 위의 ①에서 a−a‘=0, b−b‘=0, 즉 a=a‘, b=b‘가 됩니다.
💡 참고
항등식의 성질 (2), (3)은 각자 확인해 보기 바랍니다.
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자주 틀리는 포인트
실수 ① “=0″과 “=다른 식” 혼동
ax+b=0이 항등식이면 a=0, b=0이지만, ax+b=a‘x+b‘이 항등식이면 a=a‘, b=b‘입니다. 상황에 맞게 적용하세요!
실수 ② 이차식에서 계수 하나 빼먹기
ax²+bx+c=0이 항등식이면 a=0, b=0, c=0 세 개 모두 0이어야 합니다. 하나라도 빠뜨리면 안 됩니다!
실수 ③ 양변 정리 안 하고 바로 비교
항등식 성질을 적용하기 전에 반드시 양변을 정리하여 같은 차수끼리 모아야 합니다.
확인 문제
(1) 등식 (a+2)x²−(3−b)x+2−c=0이 x에 대한 항등식일 때, 상수 a, b, c의 값을 구하시오.
(2) 임의의 실수 x, y에 대하여 등식 ax−2y+c=3x+by+1이 성립할 때, 상수 a, b, c의 값을 구하시오.
(1) a+2=0, 3−b=0, 2−c=0
∴ a=−2, b=3, c=2
(2) 주어진 등식이 x, y에 대한 항등식이므로
a=3, −2=b, c=1
∴ a=3, b=−2, c=1
∴ a=−2, b=3, c=2
(2) 주어진 등식이 x, y에 대한 항등식이므로
a=3, −2=b, c=1
∴ a=3, b=−2, c=1
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