Ⅰ. 다항식 > Ⅰ-2. 나머지정리와 인수분해답지나라개념사전
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항등식과 방정식
항상 성립하는 등식 vs 가끔 성립하는 등식 — 등식의 두 종류
1. 등식의 두 종류
등호(=)를 사용하여 수나 식이 서로 같음을 나타낸 식을 등식이라 합니다. 등식에는 항등식과 방정식이 있습니다.
(1) 항등식: 문자를 포함한 등식으로, 식에 포함된 문자에
어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식
(2) 방정식: 문자를 포함한 등식으로, 식에 포함된 문자에
특별한 값을 대입했을 때에만 성립하는 등식
어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식
(2) 방정식: 문자를 포함한 등식으로, 식에 포함된 문자에
특별한 값을 대입했을 때에만 성립하는 등식
2. 항등식과 방정식 구별하기
2x+3x=5x, x²−1=(x+1)(x−1), (a+b)(a²−ab+b²)=a³+b³, … 과 같이 항상 성립하는 등식을 항등식이라 하고, 2x=3, x²−3x=0, x+y=5, … 와 같이 가끔 성립하는 등식을 방정식이라 합니다.
📝 항등식임을 나타내는 여러 표현
직접 ‘항등식’이라는 말이 없어도 항등식임을 나타내는 여러 가지 표현이 있습니다. 다음 표현은 모두 주어진 등식이 x에 대한 항등식임을 나타냅니다.
· 모든 x에 대하여 성립 + 등식
· 임의의 x에 대하여 성립 + 등식
· x의 값에 관계없이 항상 성립 + 등식
· 어떤 x의 값에 대하여도 항상 성립 + 등식
→ 이 표현들은 모두 x에 대한 항등식을 뜻합니다.
💡 참고
어떤 등식이 항등식인지 방정식인지 알아볼 때에는 먼저 식을 간단히 정리합니다.
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자주 틀리는 포인트
실수 ① 항등식과 방정식 혼동
(x−1)(x+3) = x²+2x−3은 전개하면 양변이 같으므로 항등식입니다. 반면 x−4 = −x+4는 정리하면 2x=8이므로 방정식입니다!
실수 ② “모든 x에 대하여” 표현 무시
문제에 “모든 x에 대하여 성립”이라고 적혀 있으면 그 등식은 항등식입니다. 이 표현을 놓치면 풀이 방향이 완전히 달라집니다!
실수 ③ 정리 안 하고 판별
등식을 먼저 간단히 정리한 후 판별해야 합니다. 정리하지 않으면 항등식인지 방정식인지 알 수 없습니다.
확인 문제
다음 등식을 항등식과 방정식으로 구분하여 말하시오.
(1) x−4 = −x+4
(2) (x−1)(x+3) = x²+2x−3
(1) 주어진 식을 정리하면 2x=8 → 이 등식은 x=4일 때에만 성립하므로 방정식이다.
(2) 주어진 식을 정리하면 x²+2x−3 = x²+2x−3 → 이 등식은 x에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하므로 항등식이다.
(2) 주어진 식을 정리하면 x²+2x−3 = x²+2x−3 → 이 등식은 x에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하므로 항등식이다.
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