마플시너지공수1답지 1315번 TOUGH 이차부등식 핵심 포인트

1315번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(2015년 9월 고1 학평 14번)로, 0이 아닌 실수 p에 대하여 f(x) = x²+px+p의 꼭짓점 A, y축과 만나는 점 B, 두 점 A·B를 지나는 직선 l의 방정식 g(x)에 대해 f(x)−g(x) ≤ 0을 만족시키는 정수 x의 개수가 10이 되도록 하는 정수 p의 최댓값 M, 최솟값 m을 구하여 M−m을 구하는 문제입니다.

① STEP A. 두 점 A, B의 좌표 구하기 — f(x) = x²+px+p = (x+p/2)²−p²/4+p이므로 꼭짓점 A(−p/2, −p²/4+p), y절편 B(0, p)입니다.

② STEP B. 이차함수와 직선의 교점으로 부등식 세우기 — f(x)의 x²의 계수가 1이고, 그래프와 직선 y = g(x)의 교점의 x좌표가 0 또는 −p/2이므로 f(x)−g(x) = x(x+p/2)입니다. 따라서 f(x)−g(x) ≤ 0에서 x(x+p/2) ≤ 0입니다.

③ STEP C. p의 값의 범위에 따라 경우를 나누어 정수 p의 최댓값·최솟값 구하기 — p > 0일 때 해는 −p/2 ≤ x ≤ 0이고, p < 0일 때 해는 0 ≤ x ≤ −p/2입니다. 정수 x의 개수가 10이 되려면 해의 범위가 적절해야 합니다. p > 0인 경우 정수 p = 18 또는 p = 19, p < 0인 경우 정수 p = −19 또는 p = −18이 조건을 만족합니다. 따라서 M = 19, m = −19.

M−m = 19−(−19) = 38 → ④번.