마플시너지공수1답지 1124번 일등급 삼차방정식·근의 제곱합 최댓값 핵심 포인트

1124번은 7단원 고차방정식 일등급문제(최다빈출)로, 삼차방정식 x³−3x²+a=0의 계수에서 근과 계수의 관계를 읽어 α²+β²+γ²가 a에 무관하게 상수임을 보이는 문제입니다.

① 근과 계수의 관계 — x³−3x²+0·x+a=0에서

α+β+γ=3, αβ+βγ+γα=0, αβγ=−a.

② α²+β²+γ² 계산 — α²+β²+γ²=(α+β+γ)²−2(αβ+βγ+γα)=3²−2×0=9.

③ 서로 다른 세 실근을 갖는 a의 범위 — f(x)=x³−3x²+a, f′(x)=3x²−6x=3x(x−2). 극대 f(0)=a, 극소 f(2)=−4+a. 서로 다른 세 실근 조건: f(0)·f(2)<0, 즉 a(a−4)<0, 0<a<4.

④ 결론 — α²+β²+γ²=9는 a 값과 무관하게 항상 9입니다. “최댓값”이라는 표현이 있지만, 이 식은 상수 9로 고정되므로 최댓값도 9.

정답: 9.