마플시너지공수1답지 1119번 일등급 사차방정식·복소수 조건 핵심 포인트

1119번은 7단원 고차방정식 일등급문제(최다빈출)로, 사차방정식을 조립제법으로 인수분해하여 근을 구하고, (z−z̄)i가 양의 실수인 조건에서 b<0을 이용하여 a−√3b를 구하는 문제입니다.

① 사차식 인수분해 — f(x)=x⁴+2x³+3x²−2x−4에서 f(1)=0, f(−1)=0이므로 x−1, x+1을 인수로 갖습니다. 조립제법을 두 번 적용하면 f(x)=(x−1)(x+1)(x²+2x+4).

② 근 구하기 — x=1, x=−1, x²+2x+4=0에서 x=−1±√3i. 즉 네 근은 1, −1, −1+√3i, −1−√3i.

③ (z−z̄)i가 양의 실수 조건 — z=a+bi이면 z−z̄=2bi이므로 (z−z̄)i=2bi²=−2b. 이것이 양의 실수이므로 −2b>0, b<0.

④ a−√3b 구하기 — 허근 중 b<0인 것은 z=−1−√3i (a=−1, b=−√3). 따라서 a−√3b=−1−√3×(−√3)=−1+3=2.

정답: 2.