마플시너지공수1답지 1107번 서술형 삼차방정식 중근 조건 분석 핵심 포인트

1107번은 7단원 고차방정식 서술형 기출유형으로, 삼차방정식 x³+3x²+(k+4)x−k−8=0의 서로 다른 실근의 개수가 2일 때, 모든 실수 k의 값의 합을 구하는 문제입니다. ‘서로 다른 실근이 2개’이므로 중근을 갖거나 허근이 있는 경우를 분석해야 합니다.

① 1단계 · 조립제법으로 인수분해 [3점] — f(x)=x³+3x²+(k+4)x−k−8이라 하면 f(1)=1+3+k+4−k−8=0이므로 f(x)는 x−1을 인수로 갖습니다. 조립제법으로 f(x)=(x−1)(x²+4x+k+8).

② 2단계 · 서로 다른 실근이 2개인 k 구하기 [5점] — 서로 다른 실근이 정확히 2개가 되려면 다음 두 경우 중 하나입니다.

(ⅰ) x²+4x+k+8=0의 해가 x=1(1이 아닌 실근)인 경우 — x=1을 근으로 가지면 1+4+k+8=0, k=−13. 이때 x²+4x−5=0, (x+5)(x−1)=0이므로 실근은 x=1(중근), x=−5로 서로 다른 실근 2개. 조건 만족.

(ⅱ) x²+4x+k+8=0이 1이 아닌 실수를 중근으로 갖는 경우 — 판별식 D=16−4(k+8)=0에서 k=−4. 이때 x²+4x+4=0, (x+2)²=0이므로 x=−2(중근). 실근은 x=1, x=−2로 서로 다른 실근 2개. 조건 만족.

③ 3단계 · 모든 k의 값의 합 [2점] — (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 실수 k의 값의 합은 −13+(−4)=−17.

정답: −17.