마플시너지공수1답지 0950번 최다빈출 왕중요 삼차방정식 허근·켤레복소수 핵심 포인트

0950번은 7단원 고차방정식 최다빈출 왕중요 + TOUGH 문제로, 삼차방정식 x³ − 5x² + 9x − 9 = 0의 두 허근 z₁, z₂와 각각의 켤레복소수 z̄₁, z̄₂에 대해 z₁z̄₁ + z₂z̄₂를 구하는 문제입니다. 실계수 삼차방정식에서 허근은 반드시 켤레쌍으로 나타나는 성질이 핵심입니다.

① 조립제법으로 인수분해 — f(x) = x³ − 5x² + 9x − 9에서 f(3) = 27 − 45 + 27 − 9 = 0이므로 조립제법으로 f(x) = (x − 3)(x² − 2x + 3)을 얻습니다.

② 허근 확인 — x² − 2x + 3 = 0의 판별식 D/4 = 1 − 3 = −2 < 0이므로, 이 방정식의 두 근이 허근 z₁, z₂입니다. 근과 계수의 관계에 의해 z₁ + z₂ = 2, z₁z₂ = 3입니다.

③ 켤레근 성질 활용 — 실계수 이차방정식의 두 허근은 서로 켤레이므로 z₂ = z̄₁, z₁ = z̄₂입니다. 따라서 z₁z̄₁ + z₂z̄₂ = z₁z₂ + z₂z₁ = 2z₁z₂ = 2 × 3 = 6입니다.