마플시너지공수1답지 0924번 행복한 1등급 항등식·꼭짓점 핵심 포인트

0924번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 행복한 1등급 문제로, y = x² + ax − a − 2의 그래프가 a의 값에 관계없이 항상 지나는 점을 찾고, 그 점이 최고차항의 계수가 1인 이차함수의 꼭짓점일 때 x축과 만나는 두 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다. “a에 관계없이”라는 조건에서 항등식의 성질을 떠올리는 것이 핵심 발상입니다.

발상 포인트: ① a에 관한 항등식으로 정리 — y = x² + ax − a − 2를 a에 대해 정리하면 (x − 1)a + (x² − y − 2) = 0입니다. 이것이 모든 a에 대해 성립하려면 x − 1 = 0이고 x² − y − 2 = 0이어야 하므로, x = 1, y = −1입니다. 즉, 항상 점 (1, −1)을 지납니다.

② 꼭짓점이 (1, −1)인 이차함수 결정 — 최고차항의 계수가 1이고 꼭짓점이 (1, −1)이므로, y = (x − 1)² − 1 = x² − 2x입니다. ③ x축 교점과 거리 — x² − 2x = 0에서 x(x − 2) = 0이므로, x = 0, x = 2입니다. 두 점 사이 거리는 2 − 0 = 2입니다.