마플시너지공수1답지 0918번 서술형 최솟값 함수의 최대·최솟값 핵심 포인트

0918번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 서술형 기출유형이자 최다빈출 왕중요 문제로, 이차함수 y = x² − 2mx + 2m − 5의 최솟값을 f(m)이라 놓고, −1 ≤ m ≤ 4에서 f(m)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 “이중 최적화” 문제입니다. 1단계에서 x에 대해 완전제곱식으로 최솟값을 구하고, 2단계에서 m에 대해 다시 최대·최솟값을 구하는 2단 구조가 핵심입니다.

발상 포인트: ① x에 대한 완전제곱식으로 최솟값 도출 — y = x² − 2mx + 2m − 5 = (x − m)² − m² + 2m − 5이므로, x = m일 때 최솟값 f(m) = −m² + 2m − 5 = −(m − 1)² − 4입니다.

② f(m)은 위로 볼록한 이차함수 — f(m) = −(m − 1)² − 4는 꼭짓점이 (1, −4)이고 위로 볼록합니다. 구간 [−1, 4]에서 꼭짓점 m = 1이 포함되므로 최댓값은 f(1) = −4입니다. 대칭축 m = 1에서 더 먼 끝점은 m = 4이므로 최솟값은 f(4) = −(4 − 1)² − 4 = −13입니다. 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 (−4) + (−13) = −17입니다.