고등학교 수학 미적분을 공부하다 보면 누구나 한 번쯤 갖게 되는 의문이 있습니다. 직관적으로 생각했을 때, 그래프의 왼쪽과 오른쪽 기울기가 같다면 그 지점에서 미분이 가능해야 할 것 같은데, 왜 함수가 끊어져 있으면(불연속) 미분이 불가능할까요?

많은 학생들이 “극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같으면 된다”는 명제와 혼동하여 이 개념을 어려워합니다. 오늘은 이 오개념을 바로잡고, 미분가능성과 연속성의 관계를 명확히 정리해 드립니다.

1. 흔한 오개념: “기울기만 같으면 되는 것 아닌가요?”

이 질문은 매우 날카롭지만, 두 가지 서로 다른 극한을 혼동하고 있습니다.

• 도함수의 극한 (\(\lim_{x \to a} f'(x)\)): \(x=a\) 근처에서의 기울기 변화 추세
• 미분계수의 정의 (\(f'(a)\)): \(x=a\) 지점에서의 순간 변화율

결론부터 말하자면, 좌우 기울기가 아무리 같아도 함수가 끊어져 있으면 미분계수를 구하는 식 자체가 성립하지 않습니다.

2. 수학적 증명: 왜 불연속이면 미분 불가능한가?

미분계수 \(f'(a)\)가 존재하기 위한 정의를 식 하나로 살펴봅시다.

$$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x – a} $$

이 극한값이 존재하기 위해서는 분모가 0으로 갈 때, 분자도 반드시 0으로 가야 합니다(0/0 꼴). 이를 분석해 보겠습니다.

1) 분모의 상황

\(x \to a\) 이므로, 분모 \(x-a\)는 0에 한없이 가까워집니다.

2) 분자의 상황 (불연속일 경우)

만약 함수가 \(x=a\)에서 불연속(끊어져 있음)이라면, \(x\)가 \(a\)로 다가갈 때 \(f(x)\)와 \(f(a)\) 사이에는 좁혀지지 않는 차이(Gap)가 존재합니다. 즉, 분자 \(f(x) – f(a)\)는 0이 아닌 어떤 상수값에 가까워집니다.

3) 결과

$$ \lim_{x \to a} \frac{\text{0이 아닌 상수}}{\text{0에 가까워짐}} = \infty (\text{발산}) $$

따라서, 주변의 기울기가 아무리 일정하더라도 미분계수를 정의하는 식 자체가 무한대로 발산해 버리기 때문에, \(f'(a)\)는 존재할 수 없습니다.

3. 직관적인 비유: 롤러코스터 레일

이 현상을 끊어진 롤러코스터 레일에 비유해 볼까요?

• 왼쪽 레일의 경사도(기울기)가 3입니다.
• 오른쪽 레일의 경사도(기울기)가 3입니다.
• 하지만 두 레일은 위아래로 어긋나 끊겨 있습니다.

이때 “끊어진 지점에서의 롤러코스터 속도(미분계수)는 얼마인가?”라고 묻는다면 답은 없습니다. 레일이 이어져 있지 않아 롤러코스터가 그 지점을 통과조차 할 수 없기 때문입니다.

4. 핵심 요약

교과서에서 말하는 “좌극한=우극한이면 존재한다”는 논리는 미분계수를 구하는 극한식 자체에 적용해야 합니다. 불연속인 함수는 이 식 자체가 성립하지 않음을 꼭 기억해 주세요.