154 여집합과 차집합의 성질: 드모르간의 법칙과 변형 공식 마스터! 💫
안녕하세요, 집합 연산의 규칙을 마스터하는 친구들! 👋 지난 시간에는 전체집합, 여집합, 차집합의 기본적인 정의에 대해 알아보았죠? 오늘은 이 여집합(Ac)과 차집합(A-B)이 어떤 재미있고 유용한 성질들을 가지고 있는지 자세히 파헤쳐 볼 거예요. 특히 차집합을 교집합과 여집합으로 변형하는 공식은 마치 비밀 암호를 푸는 열쇠처럼 다양하게 활용된답니다! 벤다이어그램을 통해 직관적으로 이해하면서 함께 살펴볼까요? 🔑
📝 핵심만정리: 여집합과 차집합의 주요 성질!
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 다음과 같은 중요한 성질들이 성립해요.
- 여집합의 성질:
- A ∪ Ac = U (A와 A가 아닌 것을 합치면 전체!)
- A ∩ Ac = ∅ (A와 A가 아닌 것의 공통부분은 없음!)
- (Ac)c = A (A가 아닌 것의 아닌 것은 A 자신!)
- ∅c = U (아무것도 없는 것의 반대는 전체!)
- Uc = ∅ (전체의 반대는 아무것도 없음!)
- 차집합의 성질:
- A – B = A ∩ Bc (A에서 B를 빼는 것은, A 중에서 B가 아닌 것과의 공통부분!)
- A – B = A – (A ∩ B) (A에서 A와 B의 공통부분만 쏙 빼도 같아요!)
- A – B = (A ∪ B) – B (A와 B를 합친 것에서 B만 쏙 빼도 같아요!)
- U – A = Ac (전체에서 A를 빼면 A의 여집합!)
특히 A – B = A ∩ Bc는 매우 중요하게 사용되는 변형 공식이니 꼭 기억해두세요!
🌓 여집합의 성질: 반대의 반대는 나 자신!
개념정리 154-1: 전체집합 U를 기준으로!
전체집합 U의 부분집합 A에 대하여, A의 여집합 Ac는 U의 원소 중 A에 속하지 않는 원소들의 모임이었죠? 이 여집합은 다음과 같은 기본 성질들을 가집니다.
- 1. A ∪ Ac = U
집합 A와 A가 아닌 나머지 부분을 합치면 당연히 전체집합 U가 되겠죠?벤다이어그램: U 안에 A와 Aᶜ이 있고, 두 영역을 합치면 U 전체가 되는 그림 - 2. A ∩ Ac = ∅
집합 A와 A가 아닌 나머지 부분은 서로 겹치는 원소가 하나도 없어요. 따라서 교집합은 공집합입니다.벤다이어그램: U 안에 A와 Aᶜ이 서로 겹치지 않게 나누어져 있는 그림 - 3. (Ac)c = A
“A가 아니다”의 “아니다”는 결국 “A이다”가 되겠죠? 마치 부정의 부정은 긍정인 것처럼요!벤다이어그램: Aᶜ의 바깥 부분이 다시 A가 되는 것을 보여주는 그림 - 4. ∅c = U
아무것도 없는 공집합의 여집합은, 전체집합 U에서 아무것도 빼지 않은 것이니 전체집합 U 자신이 됩니다. - 5. Uc = ∅
전체집합 U의 여집합은, 전체집합 U에서 U 전체를 제외한 것이니 아무것도 남지 않겠죠? 따라서 공집합입니다.
➖ 차집합의 성질: A – B = A ∩ Bc가 핵심!
개념정리 154-2: 교집합과 여집합으로 변신!
두 집합 A, B에 대한 차집합 A-B는 A의 원소 중에서 B에 속하지 않는 원소들의 모임이었어요. 이 차집합은 다음과 같은 중요한 성질을 가집니다.
A – B = A ∩ Bc
이것은 “A에는 속하면서(∩) B에는 속하지 않는(Bc) 원소들의 모임”이라는 뜻으로, 차집합의 정의와 정확히 일치해요! 이 변형 공식은 집합의 연산을 간단히 하거나 증명할 때 매우 유용하게 사용됩니다.
그 외에도 다음과 같은 표현들이 가능해요.
- A – B = A – (A ∩ B) (A에서 A와 B의 공통부분만 빼면 됨)
- A – B = (A ∪ B) – B (A와 B를 합친 것에서 B 전체를 빼면 됨. 단, A에만 속한 부분만 남음)
그리고 전체집합 U와의 관계에서는 다음과 같습니다.
- U – A = Ac (전체에서 A를 빼면 당연히 A의 여집합!)
🔗 드모르간의 법칙 (다음 시간 예고!)
개념정리 154-3: 괄호 밖의 여집합은 어떻게 될까?
여집합과 관련된 아주 중요한 법칙 중 하나로 드모르간의 법칙이 있어요. 이 법칙은 합집합이나 교집합 전체에 여집합이 적용될 때, 각각의 여집합과 다른 연산으로 변형되는 규칙을 말해준답니다.
자세한 내용은 다음 포스팅(156번)에서 다룰 예정이니 기대해주세요! 살짝 맛보기만 보여드리면 다음과 같아요:
- (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
- (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
괄호가 풀리면서 합집합은 교집합으로, 교집합은 합집합으로 바뀌는 것이 특징이죠!
🧐 개념확인 문제: 성질을 이용하여 옳지 않은 것 찾기!
이제 배운 여집합과 차집합의 성질을 이용해서 다음 보기 중 옳지 않은 것을 찾아봅시다!
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 다음 중 옳지 않은 것은? (PDF Check 문제)
① A ∪ ∅c = U ② A ∩ ∅c = A ③ (∅c)c = ∅
④ (Ac)c ∩ Bc = A – B ⑤ U – (Ac)c = Ac
정답 및 해설:
- ① A ∪ ∅c:
∅c = U이므로, A ∪ U = U. (옳음) - ② A ∩ ∅c:
∅c = U이므로, A ∩ U = A. (옳음) - ③ (∅c)c:
∅c = U이므로, (U)c = ∅. (옳음) - ④ (Ac)c ∩ Bc:
(Ac)c = A이므로, A ∩ Bc.
그리고 A ∩ Bc = A – B이므로. (옳음) - ⑤ U – (Ac)c:
(Ac)c = A이므로, U – A.
그리고 U – A = Ac입니다. (옳음)
(PDF 해설에서는 이 보기가 옳지 않다고 되어 있으나, U – (Ac)c = U – A = Ac이므로 올바른 설명입니다. 혹시 문제나 보기의 부호가 달랐는지 확인이 필요합니다. 현재 제시된 보기로는 모두 옳은 설명입니다. PDF 에서는 ⑤번이 $(U-A^c)^c = A$로 되어있고 이것은 $ (A)^c = A^c $가 되므로 옳지 않다고 풀이하고 있습니다. 만약 보기 ⑤가 $U-(A^c)^c=A$ 라면 옳지 않은 것이 됩니다. 여기서는 주어진 텍스트 그대로 풀이했습니다.)
만약 PDF의 답지처럼 ⑤번이 틀린 것이 되려면 보기가 U-(A^{c})^{c}=A 와 같아야 합니다. 이 경우 U-A=A가 되므로 틀린 보기가 됩니다.
만약 PDF의 의도대로 ⑤번이 답이라면, 보기 ⑤는 U – (Ac)c = A 였을 가능성이 높습니다. 이 경우 U – A = A가 되는데, 이는 일반적으로 성립하지 않으므로 (예: A가 공집합이 아니면) ⑤번이 옳지 않은 것이 됩니다.
집합의 여러 성질들을 정확히 이해하고 적용하는 연습이 중요해요! 🤓
오늘은 전체집합을 기준으로 정의되는 여집합과, 한 집합에서 다른 집합의 원소를 제외하는 차집합, 그리고 이와 관련된 여러 가지 중요한 성질들에 대해 배웠습니다. 특히 A – B = A ∩ Bc라는 변형 공식은 앞으로 집합 연산을 다룰 때 매우 유용하게 사용될 거예요! 벤다이어그램을 통해 각 성질을 시각적으로 이해하면 더 오래 기억할 수 있답니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 특강에서는 드모르간의 법칙을 포함하여 여러 가지 집합의 표현에 대해 더 자세히 알아보겠습니다. ✨