113 두 직선의 위치 관계 (표준형): 기울기와 y절편으로 판별! 🚦
안녕하세요, 직선들의 만남을 관찰하는 친구들! 👋 우리가 좌표평면 위에 두 개의 직선을 그리면, 이 두 직선은 서로 어떤 관계를 맺고 있을까요? 평행하게 나란히 갈 수도 있고, 완전히 겹쳐질 수도 있고, 아니면 한 점에서 만날 수도 있겠죠? 오늘은 두 직선의 방정식이 표준형 (y = mx + n)으로 주어졌을 때, 이들의 기울기(m)와 y절편(n)을 비교하여 두 직선의 위치 관계를 판별하는 방법에 대해 알아볼 거예요. 이 관계는 연립일차방정식의 해의 개수와도 밀접한 관련이 있답니다! 함께 그 비밀을 파헤쳐 볼까요? 🧐
📝 핵심만정리: 표준형 두 직선의 위치 관계 판별법!
두 직선의 방정식이 표준형 y = mx + n 과 y = m’x + n’으로 주어졌을 때, 두 직선의 위치 관계는 다음과 같이 기울기(m, m’)와 y절편(n, n’)을 비교하여 판단해요.
| 두 직선의 위치 관계 | 조건 | 교점의 개수 | 연립방정식의 해의 개수 |
|---|---|---|---|
| ① 평행하다 | m = m’, n ≠ n’ (기울기 같고, y절편 다름) | 없다 | 없다 (불능) |
| ② 일치한다 | m = m’, n = n’ (기울기 같고, y절편도 같음) | 무수히 많다 | 무수히 많다 (부정) |
| ③ 한 점에서 만난다 | m ≠ m’ (기울기 다름) | 한 개 | 한 쌍 |
(다음 시간에는 ‘한 점에서 만난다’의 특별한 경우인 ‘수직이다’ 조건도 배울 거예요!)
🤔 평면 위 두 직선은 어떻게 만날까요? (세 가지 가능성)
개념정리 113-1: 평행, 일치, 한 점에서의 만남!
한 평면 위에 두 개의 직선을 그리면, 이 두 직선은 다음과 같은 세 가지 위치 관계 중 하나를 갖게 됩니다.
- 평행하다: 두 직선이 아무리 뻗어나가도 서로 만나지 않고 같은 간격을 유지하는 경우. (교점 없음)
- 일치한다: 두 직선이 완전히 똑같아서 모든 점을 공유하는 경우. (교점 무수히 많음)
- 한 점에서 만난다: 두 직선이 오직 하나의 점만을 공유하며 교차하는 경우. (교점 한 개)
주의! 만약 ‘한 평면 위에서’라는 조건이 없다면, 두 직선은 만나지도 않고 평행하지도 않은 ‘꼬인 위치’에 있을 수도 있지만, 우리는 좌표평면(한 평면) 위에서의 관계만 다루므로 이 세 가지만 생각하면 돼요.
🚦 표준형 y=mx+n에서의 판별 조건: 기울기와 y절편 비교!
개념정리 113-2: m과 n을 보라!
두 직선 l: y = mx + n 과 l’: y = m’x + n’의 위치 관계는 각 직선의 기울기와 y절편을 비교하여 다음과 같이 판단할 수 있어요.
1. 평행할 조건 (m = m’, n ≠ n’)
두 직선이 서로 평행하려면, 기울기는 같아야 하지만 y절편은 달라야 해요. 만약 y절편까지 같다면 두 직선은 일치하게 되니까요!
조건: 기울기가 같고 (m = m’), y절편이 다르다 (n ≠ n’).
이 경우 두 직선은 만나지 않으므로, 두 식을 연립한 연립방정식의 해는 없습니다 (불능).
2. 일치할 조건 (m = m’, n = n’)
두 직선이 완전히 똑같으려면, 기울기도 같고 y절편도 같아야겠죠?
조건: 기울기가 같고 (m = m’), y절편도 같다 (n = n’).
이 경우 두 직선 위의 모든 점이 교점이 되므로, 연립방정식의 해는 무수히 많습니다 (부정).
3. 한 점에서 만날 조건 (m ≠ m’)
두 직선이 한 점에서 만나려면, 두 직선의 기울기가 서로 달라야 해요. 기울기가 다르면 언젠가는 반드시 한 점에서 만나게 된답니다.
조건: 기울기가 다르다 (m ≠ m’). (y절편은 같아도 되고 달라도 상관없어요!)
이 경우 두 직선은 오직 하나의 교점을 가지므로, 연립방정식의 해는 오직 한 쌍 존재합니다. 그리고 그 교점의 좌표가 바로 연립방정식의 해가 되죠!
🧐 개념확인 문제: 두 직선의 위치 관계 판별!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 두 직선의 위치 관계를 판별해 봅시다!
두 직선 y = (a-1)x + 1과 y = (5-2a)x – 2가 서로 평행하도록 하는 실수 a의 값을 구하시오. (PDF Check 문제)
정답 및 해설:
두 직선이 서로 평행하려면 기울기는 같고, y절편은 달라야 합니다.
첫 번째 직선의 기울기는 m = a-1, y절편은 n = 1입니다.
두 번째 직선의 기울기는 m’ = 5-2a, y절편은 n’ = -2입니다.
조건 1: 기울기가 같다 (m = m’)
a – 1 = 5 – 2a
a + 2a = 5 + 1
3a = 6 ⇒ a = 2
조건 2: y절편이 다르다 (n ≠ n’)
주어진 직선들의 y절편은 1과 -2이므로, 이미 1 ≠ -2로 다릅니다. 이 조건은 항상 만족되네요.
따라서 두 조건을 모두 만족하는 a의 값은 a = 2 입니다.
(PDF 에서는 일치하는 경우도 고려하여 풀이했지만, 문제 자체는 ‘평행’ 조건만 물었습니다. 만약 a=1/2이면 기울기가 같고 y절편도 같아져 일치하게 됩니다. 하지만 문제에서는 평행 조건만 요구하므로 a=2가 답입니다.)
기울기와 y절편을 정확히 비교하여 두 직선의 위치 관계를 파악하는 연습을 충분히 하세요! 😉
오늘은 표준형으로 주어진 두 직선의 위치 관계를 기울기와 y절편을 이용하여 판별하는 방법에 대해 배웠습니다. 기울기가 같고 y절편이 다르면 평행, 기울기와 y절편이 모두 같으면 일치, 기울기가 다르면 한 점에서 만난다는 간단명료한 규칙이었죠! 이 관계는 연립일차방정식의 해의 개수와도 연결된다는 점을 기억해주세요. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 두 직선이 ‘수직’으로 만날 특별한 조건에 대해 알아보겠습니다. 📐