수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂)에 대하여 (단, m>0, n>0):

1. 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점 P의 좌표:
   P2 + nx₁}{m+n}\right)
2. 선분 AB의 중점 M의 좌표 (m=n=1인 경우):
   M1 + x₂}{2}\right)
3. 선분 AB를 m:n으로 외분하는 점 Q의 좌표 (단, m ≠ n):
   Q2 – nx₁}{m-n}\right)

공식의 형태가 비슷하죠? 내분점은 +, 외분점은 –로 연결된다고 기억하면 쉬워요! 선분을 읽는 순서(AB인지 BA인지)에 따라 x₁과 x₂가 바뀌므로 주의해야 합니다.

개념정리 104-1: 엇갈려 곱하고 더하라!

수직선 위의 두 점 A(x₁)과 B(x₂)를 잇는 선분 AB를 m:n (m>0, n>0)으로 내분하는 점 P의 좌표 x는 다음과 같이 구해요.

x = \frac{mx₂ + nx₁}{m+n}

이 공식은 어떻게 유도될까요? 점 P가 선분 AB 위에 있으므로 AP : PB = m : n이 성립해요.

만약 x₁ < x < x₂라고 가정하면 (P가 A와 B 사이에 있으므로),

AP = x – x₁ 이고, PB = x₂ – x 입니다.

따라서 (x – x₁) : (x₂ – x) = m : n 이고, 내항의 곱과 외항의 곱은 같으므로,

n(x – x₁) = m(x₂ – x)

nx – nx₁ = mx₂ – mx

nx + mx = mx₂ + nx₁

(m+n)x = mx₂ + nx₁

x = \frac{mx₂ + nx₁}{m+n} (단, m+n \ne 0인데, m>0, n>0이므로 항상 성립)

(x₁ > x₂인 경우에도 결과는 같아요. )

개념정리 104-2: 1:1 내분점의 특별한 경우!

선분 AB의 중점 M은 선분 AB를 1:1로 내분하는 점이에요.

따라서 내분점 공식에서 m=1, n=1을 대입하면 중점의 좌표를 쉽게 구할 수 있어요.

x = \frac{1 \cdot x₂ + 1 \cdot x₁}{1+1} = \frac{x₁ + x₂}{2}

즉, 중점의 좌표는 두 점의 좌표를 더해서 2로 나누면 된답니다!

개념정리 104-3: 엇갈려 곱하고 빼라! (단, m \ne n)

수직선 위의 두 점 A(x₁)과 B(x₂)를 잇는 선분 AB를 m:n (m>0, n>0, m \ne n)으로 외분하는 점 Q의 좌표 x는 다음과 같이 구해요.

x = \frac{mx₂ – nx₁}{m-n}

이 공식도 내분점과 마찬가지로 유도할 수 있어요. 외분점의 위치에 따라 (m>n인 경우와 m인 경우) AQ와 QB를 x, x₁, x₂로 표현하는 방식이 달라지지만, 최종 공식은 동일하게 나온답니다.

예를 들어 m>n이고 x₁ < x₂ < x (Q가 B 오른쪽에 위치)라고 가정하면,

AQ = x – x₁ 이고, QB = x – x₂ 입니다.

(x – x₁) : (x – x₂) = m : n ⇒ n(x – x₁) = m(x – x₂)

nx – nx₁ = mx – mx₂

mx₂ – nx₁ = mx – nx = (m-n)x

x = \frac{mx₂ – nx₁}{m-n} (단, m-n \ne 0 즉 m \ne n)