계수에 미지수(예: k)를 포함하는 이차방정식의 두 근 α, β가 정수라는 조건이 주어지면, 다음과 같은 단계로 문제를 해결할 수 있어요.

1. 1단계: 근과 계수의 관계 이용
   두 근의 합(α + β)과 곱(αβ)을 미지의 상수 k를 포함한 식으로 나타내요.
2. 2단계: 부정방정식 만들기
   1단계에서 얻은 두 식을 연립하여 상수 k를 소거하고, 두 정수근 α, β에 대한 부정방정식을 만들어요.
   이 부정방정식을 (일차식) × (일차식) = (정수) 꼴로 변형해요.
3. 3단계: 약수와 배수의 성질 이용
   2단계에서 변형한 식의 우변 정수의 약수들을 이용하여 가능한 정수 α, β의 순서쌍을 모두 구해요. (이때 α \ge β와 같은 조건이 있다면 경우의 수를 줄일 수 있어요.)
4. 4단계: 상수 k의 값 구하기
   3단계에서 구한 정수근 α, β의 값을 1단계에서 세웠던 두 근의 합 또는 곱에 대한 식에 다시 대입하여 상수 k의 값을 구해요.

개념정리 82-1: 정수근 조건의 특별함

우리가 다룰 문제는 일반적으로 다음과 같은 형태를 가져요:

“x에 대한 이차방정식 x² – (k+2)x + (k+3) = 0의 두 근이 모두 정수일 때, 상수 k의 값을 모두 구하시오.”

이처럼 이차방정식의 계수 중 일부가 미지의 상수(k)로 주어지고, 그 방정식의 두 근이 모두 정수라는 조건이 핵심이에요. 만약 ‘두 근이 정수’라는 조건이 없다면, 계수에 미지수가 포함된 이차방정식의 근을 직접 구하는 것은 매우 어렵거나 불가능할 수 있어요.

하지만 ‘정수근’이라는 강력한 조건 덕분에 우리는 근과 계수의 관계를 이용하여 식을 세우고, 이를 정수 범위에서만 해를 갖는 부정방정식으로 바꾸어 해결할 수 있게 됩니다.

개념정리 82-2: 근과 계수의 관계 → 부정방정식 → 약수 활용!

이차방정식 x² – (k+2)x + k+3 = 0의 두 정수근을 α, β (α \ge β라고 가정)라고 할 때, 상수 k의 값을 구하는 과정을 단계별로 살펴볼게요.

1단계: 근과 계수의 관계 이용하기

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 다음 두 식이 성립해요.

• 두 근의 합: α + β = –^(-(k+2))⁄₁ = k+2       ··· ①
• 두 근의 곱: αβ = ^(k+3)⁄₁ = k+3               ··· ②

2단계: k를 소거하여 α, β에 대한 부정방정식 만들기

①식에서 k = α + β – 2로 정리한 후, 이것을 ②식에 대입하여 k를 소거해요.

αβ = (α + β – 2) + 3

αβ = α + β + 1

이제 이 식을 (\text{일차식}) \times (\text{일차식}) = (\text{정수}) 꼴로 변형해요.

αβ – α – β = 1

양변에 1을 더하면 좌변을 인수분해하기 좋아져요:

αβ – α – β + 1 = 1 + 1

α(β-1) – 1(β-1) = 2

(α-1)(β-1) = 2

3단계: 약수와 배수의 성질을 이용하여 가능한 α, β 쌍 찾기

α, β가 정수이므로 α-1과 β-1도 정수예요. 두 정수를 곱해서 2가 되는 경우는 다음과 같아요. (또한, 우리가 α \ge β라고 가정했으므로 α-1 \ge β-1이어야 합니다.)

4단계: 구한 α, β 값을 이용하여 k 값 구하기

1단계의 식 ① α + β = k+2 (즉, k = α + β – 2)에 위에서 찾은 (α, β) 쌍을 대입해요.

• (α, β) = (3, 2)일 때: k = 3 + 2 – 2 = 3
• (α, β) = (0, -1)일 때: k = 0 + (-1) – 2 = -3

따라서 구하는 상수 k의 값은 -3 또는 3 입니다.