마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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일등급최다빈출왕중요01-1 함수의 극한 함수의 극한
21f(x)=x³−2x, 27−6=21
k 가 모든 실수이니 f(k)+f(−k)=0 을 세우세요 이 등식이 모든 k 에서 성립하면 f 의 그래프는 원점 대칭이다.개념 카드 · 극한 존재 조건과 다항함수 「모든 k 에서 f(k)+f(−k)=0 ⇒ 홀수차항만 남는다」
조건 (나)의 분모 x−k 는 x→k 일 때 언제나 0 으로 간다. 극한이 존재하려면 해설 STEP A 처럼 분자도 0 으로 가야 하므로 f(k)+f(−k)=0 이 모든 실수 k 에서 성립한다. 즉 f(−k)=−f(k) 이고 삼차함수 f 의 그래프는 원점 대칭이다. 해설의 파란 주석처럼 이차항과 상수항이 0 이어야 하므로 f(x)=ax³+bx 로 놓아라.◀ 모든 k 에서 f(−k)=−f(k) → 홀수차항만
해설 STEP B 처럼 (가)도 x→2 에서 분모가 0 이므로 f(2)=4, 즉 8a+2b=4 에서 b=−4a+2 다. 이것만으로는 a 가 남는다. f(x)−4=ax³+(−4a+2)x−4 를 해설의 조립제법처럼 (x−2)(ax²+2ax+2) 로 인수분해해 x−2 를 약분하고, 남은 식에 x=2 를 넣은 8a+2=10 이 두 번째 식이다.◀ 분자→0 한 식, 약분 후 극한값 또 한 식
8a+2=10 에서 a=1, 이를 ㉡ 에 넣으면 b=−2 이므로 해설 STEP C 처럼 f(x)=x³−2x 다. 따라서 f(3)=27−6=21. 검산으로 f(2)=8−4=4 이고 f(−x)=−f(x) 인지 확인하라. 내신연계 084 는 두 조건의 순서만 바뀐 같은 구조이니 바로 이어 풀어 보라.◀ f(x)=x³−2x, f(3)=21 — 조건 두 개로 검산
발상의 출발점미지수가 넷인 삼차함수에서 조건 (나)는 ‘모양’, 조건 (가)는 ‘계수’를 정한다. 모든 실수 k 에 대한 극한 존재 조건은 값 하나가 아니라 f(k)+f(−k)=0 이라는 항등식을 주므로, 먼저 (나)로 f 를 ax³+bx 로 줄여 미지수를 둘로 만든다. 그다음 (가)에서 분자→0 과 극한값 10 이라는 두 식을 얻어 a, b 를 확정한다. (나)부터 쓰는 이유는 미지수를 넷에서 둘로 줄여 주기 때문이다.
실수 포인트 ①(나)의 k 를 특정한 값 하나로 보고 f(k)+f(−k)=0 을 한 점 조건으로만 쓰는 실수. k 는 모든 실수이므로 항등식이고 f(−x)=−f(x) → 이차항·상수항이 0 이 된다.
실수 포인트 ②(가)에서 f(2)=4 하나만 쓰고 극한값 10 을 버리는 실수. 이러면 a 가 남는다. 조립제법으로 x−2 를 약분한 뒤 8a+2=10 까지 세워야 a=1 이 나온다.
실수 포인트 ③조립제법에서 x² 항의 계수 0 을 빠뜨리는 실수. ax³+0·x²+(−4a+2)x−4 로 네 칸을 채워야 몫 ax²+2ax+2 가 나온다 → 한 칸을 빼면 몫이 통째로 틀린다.
정답 21 (f(x)=x³−2x, 27−6=21)
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아직 아무것도 열지 않았어요혼자 풀기 중