마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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서술형01-1 함수의 극한 함수의 극한
1, √2+1, 1/21단계 1, 2단계 √2+1, 3단계 1/2
Q 도 원 위의 점이니 OQ 를 OP 로 바꾸세요 P(a, √a) 이므로 세 길이 모두 a 의 식이 된다.개념 카드 · 도형과 함수의 극한 「반지름 OQ=OP → 길이를 a 의 식으로, ∞−∞꼴은 유리화」
1단계는 길이 OQ 를 따로 재지 않는다. 해설 STEP A 처럼 P 와 Q 가 모두 원점 중심 원 위에 있으므로 OQ=OP 이고, P(a, √a) 에서 OP=√(a²+a) 다. OH 는 P 에서 x축에 내린 수선의 발까지이므로 a 다. 그러면 OQ/OH=√(a²+a)/a 이고, a→∞ 이므로 분모·분자를 a 로 나누면 √(1+1/a) 가 되어 1 로 간다.◀ 반지름은 어느 점으로 재도 같다
2단계는 해설 STEP B 처럼 PH²=(√a)²=a, QH=OQ−OH=√(a²+a)−a 로 적는 데서 시작한다. 해설은 a/(√(a²+a)−a) 의 분모·분자에 √(a²+a)+a 를 곱해 분모를 (a²+a)−a²=a 로 만든 뒤 a 를 약분한다. 남은 √(a²+a)+a 에 a→1 을 넣으면 √2+1 이다. a=1 에서 분모 √2−1 이 0 이 아니므로 바로 넣어 1/(√2−1) 을 유리화해도 같은 값이다.◀ (√A−B)(√A+B)=A−B², 분모가 a 로 정리
3단계는 √(a²+a)−a 의 극한이다. 두 항이 모두 ∞ 로 가므로 해설 STEP C 처럼 분모를 1로 보고 유리화하면 a/(√(a²+a)+a) 가 된다. 이제 ∞/∞꼴이므로 분모·분자를 a 로 나누면 1/(√(1+1/a)+1) 이고, 1/a→0 이므로 1/(1+1)=1/2 이다. 답은 1단계 1, 2단계 √2+1, 3단계 1/2 이다.◀ ∞−∞ → 유리화 → 최고차항으로 나누기
발상의 출발점세 단계가 모두 OQ, OH, PH 세 길이로 이루어진다. 원점 중심 원이라는 조건 하나로 OQ=OP 가 되고, P 가 y=√x 위에 있으므로 세 길이가 모두 a 의 식 √(a²+a), a, √a 로 바뀐다. 이 변환을 1단계에서 한 번 해 두면 2단계는 유리화 후 대입, 3단계는 ∞−∞꼴 유리화로 극한의 기본 계산만 남는다. 1단계와 3단계는 같은 두 길이를 비와 차로 본다는 점도 비교해 두라.
실수 포인트 ①OQ 를 그림에서 Q 의 x좌표로 따로 구하려다 막히는 실수. Q 는 원 위의 점이므로 OQ=OP=√(a²+a) 로 바로 쓴다 → 이 한 줄이 세 단계 전부의 출발점이다.
실수 포인트 ②OP 를 계산하며 b=√a 를 넣은 b² 을 a² 으로 착각하는 실수. (√a)²=a 이므로 OP=√(a²+a) 이고, 2단계의 PH² 도 a 다.
실수 포인트 ③3단계에서 √(a²+a) 를 a 로 어림해 √(a²+a)−a 의 극한을 0 이라 하는 실수. ∞−∞꼴은 유리화해야 a/(√(a²+a)+a) 가 되고 극한은 1/2 이다.
정답 1, √2+1, 1/2 (1단계 1, 2단계 √2+1, 3단계 1/2)
아직 쌓인 질문이 없어요. 막힌 줄을 그대로 적어 보내면 오늘 밤 답변이 여기에 남아요.
누르지 않은 것은 보이지 않아요. 정답·첫 단추·STEP을 어디까지 열었는지가 아래에 남아요.
아직 아무것도 열지 않았어요혼자 풀기 중