마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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서술형01-1 함수의 극한 함수의 극한
2f(t)=t√(t²+t)/(√(t²+t)−√t), 0+1+√1=2
OP 와 OQ 가 같은 반지름이니 Q 의 y좌표를 t 로 나타내세요 x절편은 직선의 식에 y=0 을 넣어 구한다.개념 카드 · 도형과 함수의 극한 「길이를 t 의 식으로 → 무리식 0/0꼴은 켤레식으로 유리화」
1단계는 Q 의 좌표를 t 로 쓰는 단계다. 원의 중심이 원점이므로 P 와 Q 는 모두 반지름만큼 떨어져 있다. 해설 STEP A 처럼 P(t, √t) 에서 원점까지의 거리 OP 를 피타고라스로 구하고, Q 는 y축 위에서 y좌표가 양수인 점이므로 그 길이를 그대로 Q 의 y좌표로 쓴다.◀ 같은 원 위 = 원점까지 거리가 같다
2단계는 Q(0, √(t²+t)) 와 P(t, √t) 를 지나는 직선의 방정식을 세운다. 해설 STEP B 처럼 기울기는 (√t−√(t²+t))/t, y절편은 √(t²+t) 이다. 이 직선에 y=0 을 넣어 x 에 대해 풀면 f(t)=t√(t²+t)/(√(t²+t)−√t) 를 얻는다. 분모가 양수인지 한 번 더 확인하라.◀ x절편 = 직선에 y=0 대입
f(t) 에 t=0 을 넣으면 0/0 이다. 해설 STEP C 처럼 분자·분모에 √(t²+t)+√t 를 곱하면 분모는 (t²+t)−t=t² 이 된다. 분자를 전개해 t² 으로 묶으면 t²(t+1+√(t+1)) 이므로 약분 뒤 t=0 을 넣어 0+1+√1=2 다.◀ √ 의 차가 분모면 켤레식을 곱한다
발상의 출발점그림 문제지만 결국 x절편 f(t)를 t 의 식으로 쓰면 무리식의 0/0꼴 극한이 된다. 원이 원점 중심이라는 조건이 Q 의 좌표를 정하고, 두 점을 지나는 직선이 f(t)를 정한다. 식을 세운 뒤에는 t→0+ 에서 분모 √(t²+t)−√t 가 0으로 가므로, 유리화로 약분할 인수 t² 을 만들어 내는 것이 마지막 관문이다.
실수 포인트 ①Q 의 y좌표를 P 의 y좌표 √t 와 같다고 두는 실수. Q 는 P 와 높이가 아니라 원점까지 거리가 같으므로 y좌표는 OP=√(t²+t) 다.
실수 포인트 ②기울기를 (√(t²+t)−√t)/t 로 써서 부호를 뒤집는 실수. Q(0, √(t²+t)) 에서 P(t, √t) 로 가면 기울기는 (√t−√(t²+t))/(t−0) 이다. 부호가 틀리면 x절편이 음수로 나와 그림과 맞지 않는다.
실수 포인트 ③유리화한 뒤 분자를 정리하지 않고 t=0 을 넣어 다시 0/0 이 나오는 실수. 분자를 t² 으로 묶어 t²(t+1+√(t+1)) 로 정리해야 분모 t² 과 약분된다 → 2.
정답 2 (f(t)=t√(t²+t)/(√(t²+t)−√t), 0+1+√1=2)
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아직 아무것도 열지 않았어요혼자 풀기 중