마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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TOUGH01-1 함수의 극한 함수의 극한
①1/12
PQ² 는 좌표 차의 제곱합이니 Q 의 x좌표부터 t 로 구하세요 OP 의 중점과 수직 기울기로 MQ 의 식이 선다.개념 카드 · 도형에서 ∞/∞꼴 극한 「수직이등분선 = 중점 + 기울기 곱 −1」
점 M은 OP의 중점 (t/2, √(2t)/2). 직선 OP의 기울기가 √(2t)/t이므로, 여기에 수직인 직선 MQ의 기울기는 음의 역수 −t/√(2t)다. 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 −1이라는 조건 하나로 MQ의 방정식이 곧바로 선다. ‘수직이등분선’이라는 단어를 보는 순간 ‘중점 좌표 + 수직 기울기’를 세트로 꺼내라.◀ 수직이등분선 = 중점 좌표 + 기울기 음의 역수, 항상 두 개가 세트
Q는 직선 MQ와 x축의 교점이므로 MQ 식에 y=0을 넣으면 x=t/2+1, 즉 Q(t/2+1, 0). 근호(√)가 든 좌표가 무섭게 보여도 x축 교점은 y=0 대입 한 번이면 √들이 정리되며 깔끔한 t식이 남는다. ‘어떤 축과 만난다’는 곧 ‘그 축의 반대좌표를 0으로’라는 뜻.◀ x축 교점은 y=0, y축 교점은 x=0 대입 — 예외 없다
문제가 PQ가 아니라 PQ²을 물으니 근호를 씌웠다 벗길 필요 없이 (x차이)²+(y차이)²을 그대로 쓴다. PQ² = (1−t/2)² + (√(2t))² = t²/4 + t + 1. 특히 (√(2t))²=2t로 근호가 즉시 죽는다. 거리 제곱은 순수 다항식이라 극한 계산과 궁합이 가장 좋다.◀ 거리제곱은 근호 없는 다항식, ∞ 극한과 궁합 최고
발상의 출발점뼈대는 ①수직이등분선으로 Q 좌표 잡기 → ②PQ²을 t식으로 정리 → ③분수꼴 다항식의 ∞ 극한, 이렇게 세 단계다. PQ²=t²/4+t+1은 2차, 분모 3t²+7도 2차이므로 최고차항 계수의 비 (1/4)÷3 = 1/12로 곧장 끝난다.
실수 포인트 ①OP 기울기 √(2t)/t의 음의 역수를 −√(2t)/t로 잘못 쓰는 실수. 음의 역수는 분모·분자를 뒤집어야 하니 −t/√(2t)가 맞다.
실수 포인트 ②Q를 구할 때 y=0 대입을 빠뜨리고 중점 M을 Q로 착각하는 실수. M은 OP의 중점, Q는 x축과의 교점으로 서로 다른 점이다.
실수 포인트 ③극한에서 t²/4의 계수 1/4를 놓치고 1/3(분모의 3만 반영) 등으로 답하는 실수. 분자 최고차 계수는 1/4이므로 (1/4)÷3 = 1/12이다.
정답 ① (1/12)
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