마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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TOUGH01-1 함수의 극한 함수의 극한
④f(x)=(x−1)(x−4), g(x)=(x−1)², 4×1+16=20
극한이 0이니 분자가 (x−1)을 분모보다 많이 품는지 보세요 f(x) 의 다른 근이 1 인지 아닌지에 따라 분모가 달라진다.개념 카드 · 다항함수의 결정 「극한 0 ⇒ 분자의 (x−1) 인수가 분모보다 많다」
최고차계수 1인 이차함수인데 f(1)=0이니 f(x)=(x−1)(x−a)로 놓아 미정계수를 a 하나로 줄인다. 근을 하나 알면 그 (x−근)을 먼저 꺼내고 나머지 근만 문자로 두는 게 미정계수 최소화의 기본기다.◀ 아는 근은 즉시 (x−근) 인수로 꺼내라
{f(x)}²=(x−1)²(x−a)²라 분모에 (x−1)²이 박혀 있다. 극한이 0이 되려면 분자 f(x+3)g(x)가 (x−1)²을 약분하고도 (x−1)을 더 남겨 총 (x−1)³ 이상을 가져야 한다. →0은 ‘분자 인수가 분모를 이긴다’는 신호다.◀ →0은 분자 인수과잉, →∞는 분모 인수과잉, →상수는 균형
a=1이면 f(x)=(x−1)²이 되어 분모가 (x−1)⁴로 튄다. 사차식 분자가 (x−1)⁵을 가질 수 없어 0이 불가능 → 모순. a≠1일 때만 (x+3−a)g(x)=(x−1)³이 성립해 a=4, g(x)=(x−1)². 미정계수가 겹치는 케이스는 늘 별도 검사.◀ 미정계수가 겹치는 순간(a=1) 경우를 쪼개라
발상의 출발점f(1)=0은 인수분해 신호, 극한=0은 인수 개수 싸움 신호다. 분모 {f(x)}²=(x−1)²(x−a)²의 (x−1) 지수가 관건이라, 분자 f(x+3)g(x)가 (x−1)을 몇 개 품는지를 세면 끝난다. f(x)=(x−1)(x−a)로 두고 a에 따라 경우를 나누는 게 뼈대다.
실수 포인트 ①a=1(중근) 경우를 빼먹는 실수. a=1이면 분모가 (x−1)⁴로 커져 극한 0이 불가능한데, 이걸 안 따지면 반쪽짜리 풀이가 된다. 중근 케이스는 항상 따로 검사하라.
실수 포인트 ②(x+3−a)g(x)=(x−1)³에서 차수를 안 맞추는 실수. 좌변 3차 = 우변 3차, g는 2차·(x+3−a)는 1차이므로 (x+3−a)=(x−1), g(x)=(x−1)²로 갈라야 a=4가 나온다.
실수 포인트 ③마지막 대입 산수 실수. f(x)=(x−1)(x−4), g(x)=(x−1)²이므로 f(5)=4×1=4, g(5)=4²=16 → f(5)+g(5)=20.
정답 ④ (f(x)=(x−1)(x−4), g(x)=(x−1)², 4×1+16=20)
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