마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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TOUGH01-1 함수의 극한 함수의 극한 기본성질
306×5=30
f(x)g(x) 를 f/x² 과 x²g 의 곱으로 갈라 놓으세요 조건 두 개의 곱이 정확히 f(x)g(x) 가 되도록 x² 을 곱하고 나눈다.개념 카드 · 함수의 극한 기본성질 「f−6x²→2 이면 f/x²→6, f·g = (f/x²)·(x²g)」
h(x)=f(x)−6x²로 치환하면 f(x)/x²=h(x)/x²+6. lim h(x)=2(유한)이므로 h(x)/x²→0(유한/∞). 따라서 lim f(x)/x²=0+6=6. 최고차 정보(6x²)를 f(x)/x²의 극한값으로 바꿔 읽는 게 핵심.◀ lim(f−6x²)=유한 ⇒ f는 6x²처럼 커진다 ⇒ f/x²→6
구하는 것은 lim f(x)g(x). 주어진 건 f/x²(→6)과 x²g(x)(→5)다. 그러면 f(x)g(x) = [f(x)/x²] × [x²g(x)]로 분해된다. x²를 곱하고 나눈 것뿐인데 아는 극한 두 개의 곱으로 변한다.◀ x²를 곱·나눗셈해 ‘아는 조각’을 인위적으로 만든다
lim f(x)/x²=6, lim x²g(x)=5. 두 극한이 모두 수렴하므로 lim f(x)g(x)=6×5=30. 곱의 극한 성질(각각 수렴 ⇒ 곱=곱)을 마지막에 그대로 적용한다.◀ 이 문제의 출제 포인트
발상의 출발점주어진 조건이 f/x², x²g(x) 형태이니, 구하는 f·g를 [f/x²]×[x²g] 로 쪼개면 x²가 서로 상쇄되어 아는 극한의 곱이 된다. ‘무엇을 곱하고 나눠야 조건 꼴이 나오나’를 역으로 설계하는 문제다.
실수 포인트 ①lim(f−6x²)=2를 보고 f(x)/x²=2로 착각하는 실수. 남는 상수 6이 극한값이고, f/x²=6이다(2는 h(x)/x²→0으로 사라진다).
실수 포인트 ②x²를 곱하고 나누는 조작 없이 f·g를 직접 대입하려다 ∞×0 꼴에서 막히는 실수. 조건 꼴에 맞춰 x²를 인위적으로 넣어라.
실수 포인트 ③마지막에 6+5=11로 더하는 실수. 곱의 극한이므로 6×5=30이다.
정답 30 (6×5=30)
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