고난도
방정식의 실근의 개수
곡선과 x축 사이의 넓이
출제의도
이 문항은 절댓값이 포함된 함수 f(x)=|x|3−6x2+9|x|의 그래프를 대칭성을 이용해 그리고, 방정식 f(x)=f(t)의 실근의 개수 g(t)를 “곡선 y=f(x)와 직선 y=f(t)의 교점의 개수”로 해석할 수 있는지 확인합니다.
g(t)의 우극한·좌극한과 함숫값을 비교해 조건을 만족시키는 p, q를 찾은 뒤, 곡선과 x축 사이의 넓이를 정적분으로 구하는 것이 핵심입니다. 그래프 해석, 극한, 정적분이 한 문항에 모두 연결된 종합형 문제입니다.
단계별 힌트
f(−x)=f(x)이므로 y=f(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭입니다. x≥0에서만 x3−6x2+9x의 그래프를 그린 뒤 y축 대칭으로 옮겨 보세요.
g(t)는 곡선 y=f(x)와 수평선 y=f(t)가 만나는 점의 개수입니다. 즉 g(t)는 f(t)의 값이 얼마인지에 따라 결정됩니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x≥0에서 f′(x)=3(x−1)(x−3)이므로 극댓값은 f(1)=4, 극솟값은 f(3)=0입니다. 또 x=0에서 f(0)=0입니다.
따라서 f(t)의 값을 f(t)>4, f(t)=4, 0<f(t)<4, f(t)=0의 네 경우로 나누어 교점의 개수를 세면 됩니다. 이때 x≥0에서 f(x)=4를 만족시키는 x가 1 말고 하나 더 있다는 점을 놓치지 마세요. x=1이 중근이 되도록 인수분해해 보면 찾을 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
limt→a+g(t)>g(a)는 “a의 바로 오른쪽에서 교점의 개수가 늘어난다”는 뜻입니다. g(t)의 그래프에서 이런 a를 모두 찾아 가장 작은 값을 p로, 같은 방법으로 좌극한 조건에서 가장 큰 값을 q로 정하세요.
f(x)≥0이므로 넓이는 ∫pqf(x)dx이고, 대칭성을 이용하면 2∫0qf(x)dx로 계산할 수 있습니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 16
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ay=f(x)의 그래프 그리기
x≥0에서 f(x)=x3−6x2+9x=x(x−3)2이고, f′(x)=3(x−1)(x−3)이므로 x=1에서 극댓값 4, x=3에서 극솟값 0을 가집니다. x3−6x2+9x=4에서 (x−1)2(x−4)=0이므로 f(1)=f(4)=4입니다. f(−x)=f(x)이므로 그래프는 y축에 대하여 대칭입니다.
STEP Bf(t)의 값에 따라 g(t) 분류하기
f(t)>4이면 g(t)=2, f(t)=4이면 g(t)=4, 0<f(t)<4이면 g(t)=6, f(t)=0이면 g(t)=3입니다. 따라서 g(t)는 t=−4, −1, 1, 4에서 4, t=−3, 0, 3에서 3, −4<t<4의 나머지 구간에서 6, |t|>4에서 2입니다.
STEP C극한 조건으로 p, q 구하기
limt→a+g(t)>g(a)를 만족시키는 a는 −4, −3, −1, 0, 1, 3이므로 p=−4입니다. (a=4에서는 우극한이 2로 g(4)=4보다 작습니다.)
limt→a−g(t)>g(a)를 만족시키는 a는 −3, −1, 0, 1, 3, 4이므로 q=4입니다.
STEP D넓이 계산하기
f(x)≥0이고 그래프가 y축 대칭이므로 구하는 넓이는 ∫-44f(x)dx=2∫04(x3−6x2+9x)dx=2×(64−128+72)=16이므로 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · g(t)를 전부 그리지 않고 경계만 보기
g(t)는 f(t)가 0 또는 4인 점에서만 값이 바뀝니다. 이런 점 중에서 “바로 오른쪽으로 가면 교점이 늘어나는” 점은 오른쪽에서 f(t)가 0과 4 사이로 들어가는 점입니다. 가장 왼쪽 후보인 t=−4는 오른쪽으로 가면 f(t)가 4보다 작아지므로 조건을 만족하고, 이보다 왼쪽에서는 g(t)=2로 일정하므로 p=−4입니다. 좌극한 조건은 이 상황을 좌우로 뒤집은 것이므로 대칭성에 의해 곧바로 q=4입니다.
f(x)=4의 두 번째 근도 근과 계수의 관계로 빠르게 찾을 수 있습니다. 직선 y=4는 x=1에서 곡선에 접하므로 x3−6x2+9x−4=0은 1을 중근으로 가지고, 세 근의 합이 6이므로 나머지 근은 6−1−1=4입니다.
정적분은 x(x−3)2 꼴을 이용해 u=x−3으로 치환하면 ∫04x(x−3)2dx=∫-31(u+3)u2du=[14u4+u3]=54+274=8로 큰 수의 계산을 줄일 수 있습니다. 넓이는 2×8=16입니다.
실수를 줄이는 전략
- f(x)=4의 근을 x=±1만 찾고 x=±4를 빠뜨리면 g(t)가 틀어지고 p, q도 달라집니다. 극댓값과 같은 높이의 수평선은 그래프 바깥쪽 가지와도 만난다는 점을 반드시 확인하세요.
- x=0은 |x| 때문에 뾰족한 점이지만 f(0)=0인 극소점입니다. f(t)=0일 때 교점은 x=−3, 0, 3의 3개이며, 2개로 세지 않도록 주의하세요.
- 우극한 조건에서 a=4, 좌극한 조건에서 a=−4는 조건을 만족하지 않습니다. 극한의 방향을 바꿔 생각하면 p, q를 서로 뒤바꾸는 실수가 생깁니다.
- 넓이를 구할 때 f(x)≥0이 성립하므로 정적분 값이 곧 넓이입니다. 대칭성을 써서 2∫04f(x)dx로 계산하면 절댓값 처리가 필요 없어 계산 실수가 줄어듭니다.
엄선된 풀이 영상
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