수능특강 수학Ⅱ 정적분의 활용 Level 3 2번

02
실력 완성

07 정적분의 활용
구간 최댓값 함수 g(t)
그래프와 축 사이의 넓이

출제의도

이 문항은 닫힌구간 [t, t+2]에서의 최댓값을 t에 대한 함수 g(t)로 나타내고, 그 그래프가 만드는 넓이를 정적분으로 구할 수 있는지 확인합니다. 먼저 “t≥0에서 g(t)의 최솟값이 0″이라는 조건으로 a를 결정해야 합니다.

핵심은 아래로 볼록한 이차함수에서 폭 2인 구간의 최댓값이 가장 작아지는 순간을 찾는 것입니다. 구간이 꼭짓점을 중심으로 좌우 대칭이 될 때, 즉 양 끝값이 같아질 때가 그 순간입니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

t≥0이면 구간 [t, t+2]는 모두 x≥0 쪽에 있으므로 이차함수 x²−ax+3만 보면 됩니다. 폭이 2인 구간을 오른쪽으로 옮겨 갈 때 구간에서의 최댓값이 가장 작아지는 위치는 어디일지 생각해 보세요.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

아래로 볼록한 이차함수에서 구간의 최댓값은 양 끝값 중 큰 쪽입니다. 따라서 두 끝값이 같아질 때, 곧 구간이 축 x=a2에 대해 대칭일 때 최댓값이 가장 작습니다.

이때 구간은 [a2−1, a2+1]이고 끝값은 f(a2+1)=4−a²4입니다. 다만 이 구간이 x≥0 안에 있어야 하므로 a2≤1인 경우와 a2>1인 경우를 나누어 따져 보세요.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

a를 구해 f(x)를 확정한 뒤, t<−2, −2≤t<0, 0≤t<1, t≥1로 나누어 g(t)의 식을 쓰세요. g(t)=0이 되는 t=−5와 t=1 사이의 넓이를 삼각형, 직사각형, 정적분으로 나누어 더하면 됩니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ① 716

상세 해설

수능특강 수학Ⅱ 정적분의 활용 Level 3 2번 상세 해설 1

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A0<a≤2인 경우 제외하기

x≥0에서 f(x)=(x−a2)²+3−a²4입니다. 0<a≤2이면 꼭짓점의 y좌표 3−a²4가 양수이므로 x≥0에서 f(x)>0입니다. 그러면 모든 t≥0에 대해 g(t)>0이어서 최솟값이 0이 될 수 없습니다.

STEP Ba>2일 때 g(t)의 최솟값으로 a 구하기

f(a2−1)=f(a2+1)=4−a²4이므로 t=a2−1일 때 구간이 축에 대해 대칭이 되고, g(t)는 이때 최솟값 4−a²4을 갖습니다. 4−a²4=0이고 a>0이므로 a=4입니다.

STEP C구간별로 g(t) 식 세우기

f(x)는 x<0에서 x+3, x≥0에서 x²−4x+3입니다.

t<−2이면 구간 전체가 증가하는 직선 위에 있어 g(t)=f(t+2)=t+5입니다. −2≤t<0이면 구간이 x=0을 포함하고 f(0)=3이 가장 크므로 g(t)=3입니다.

0≤t<1이면 f(t)−f(t+2)=4−4t>0이므로 g(t)=f(t)=t²−4t+3입니다. t≥1이면 g(t)=f(t+2)=t²−1입니다.

STEP D넓이 계산하기

g(t)의 그래프는 t=−5와 t=1에서 t축과 만납니다. 따라서 넓이는 12×3×3+2×3+∫¹₀(t²−4t+3)dt=212+43=716이므로 정답은 ①입니다.

1등급 다른 풀이 · 끝값의 차 하나로 분기점과 a를 동시에

t≥0에서 g(t)는 두 끝값 f(t)와 f(t+2) 중 큰 값입니다. 두 끝값의 차를 계산하면 f(t+2)−f(t)=(t+2)²−t²−2a=4t+4−2a입니다. 이 일차식이 0이 되는 t=a2−1을 기준으로 왼쪽에서는 f(t), 오른쪽에서는 f(t+2)가 g(t)가 됩니다.

그러므로 g(t)의 최솟값은 f(a2−1)=4−a²4이고, 이 값을 0으로 놓으면 a=4입니다. 같은 식에 a=4를 넣으면 4t−4이므로, g(t)의 식이 바뀌는 분기점 t=1도 따로 계산할 필요 없이 바로 나옵니다.

넓이도 더 짧게 구할 수 있습니다. −5≤t≤0 부분은 윗변 2, 아랫변 5, 높이 3인 사다리꼴이므로 넓이가 (2+5)×32=212입니다. 여기에 ∫¹₀(t²−4t+3)dt=13−2+3=43을 더하면 716입니다.

실수를 줄이는 전략

g(t)의 최솟값을 f(x)의 최솟값과 혼동해 3−a²4=0으로 놓는 실수가 많습니다. g(t)는 폭 2인 구간의 최댓값이므로, 구간이 꼭짓점 좌우로 대칭일 때의 끝값 4−a²4을 0으로 놓아야 합니다.
0<a≤2인 경우를 검토하지 않고 바로 a=4를 쓰면 풀이가 불완전합니다. 구간 [a2−1, a2+1]이 x≥0 안에 들어가는지 먼저 확인하세요.
0≤t<1에서 g(t)를 f(t+2)로 쓰면 넓이가 틀어집니다. f(t)−f(t+2)=4−4t의 부호로 어느 끝값이 큰지 반드시 비교하세요.
−2≤t<0에서 g(t)=3으로 일정한 수평 구간을 빠뜨리기 쉽습니다. 구간이 x=0을 포함하면 f(0)=3이 최댓값입니다.
둘러싸인 부분은 −5≤t≤1까지입니다. t≥1에서 g(t)=t²−1은 t축과 t=1에서만 만나고 계속 커지므로 넓이에 포함되지 않습니다.

엄선된 풀이 영상

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